Názory k článku
Fraktály v počítačové grafice II

Dalsi skvely dil slibujici zajimavou serii clanku o fraktalech. Nevim co dodat..

Ano, skvělé počteníčko před spaním. Dodal bych jen jedno - mám pocit, že Helge von Koch byla dáma a proto by snad bylo dobré tento fakt v článku zohlednit;-)
Například: "...křivka Helge von Kocha je fraktálem".

jj, byla to dama. :) Jinak posilam diky a pochvalu autorovi. Pekny clanek.

ha, cely rok a pul jsem zil v omylu. :) njn, ne vsemu, co clovek slysi na prednasce, muze slepe verit. Byl to chlap jak poleno. :) -> http://en.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch , http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Koch.html

Já jsem si to také dost dlouhou dobu myslel, ale Helge von Koch byl opravdu chlap (a s fousama :-). Ten omyl tradovany v ceske literature (i v mnohych VS skriptech) asi vznikl zamenou Helge-Helga.

Hmm, tak to by mě zajímalo, kolik lidí jsem při svých nadšených "přednáškách" o fraktálech balamutil "zajímavostí" o německé (ani to není pravda:-)) matematičce Kochové a její vločce:-D Když ona mi ta vločka k té "ženské" prostě tak seděla:-)
Každopádně se moc těším na pokračování a hlavně na příklady, od kterých si slibuji, že snad konečně pokročím ze Sierpinskeho koberečku na vyšší úroveň:-)

Díky za pěkný článek. Fraktály mě vždycky zajímaly, už se těším na praktické ukázky. Jen tak dál !

Pridavam se ke chvalozpevu na tento clanek, neb je to po dlouhe dobe neco, na co jsem kliknul a opravdu precetl :)

Dovolim si jen podotknout na drobnou nepresnost: Rovnice ctyrrozmerne koule by mela byt spis

x² + y² + z² + w² ≤ r²

nez

x² + y² + z² + w² = r².

A chyba je i u vypoctu dimenze ctverce a krychle. Exponent u N ma byt 1/2 misto -2, resp. 1/3 misto -3. Chyba se tahne celym vypoctem ale za predposlednim rovnitkem uz
je to zase spravne..

Sorry, omlouvam se. Pri prepisu z LaTeXu do HTML jsem asi nemyslel a misto \sqrt automaticky psal -2, to je jasne blbost :-(

mylit sa je ludske, ale ked uz sa chyba objavila, mohli by ste ju aj opravit. predsalen je to (aspon si myslim) clanok na urovni, tak nech tam nie su zbytocne preklepy...

Hned, jak jsem byl na chybu upozornen zde v diskusi, jsem to reportoval redaktorovi Roota (tim je Petr K.), ktery mi opravu prislibil. Sam pristup do redakcniho systemu nemam, po odeslani prvni verze clanku nad nim ztracim kontrolu :-). On se ten text to i po oprave jeste nejakou dobu kesuje, takze na vysledek si mozna pockame az do zitrka ;-)

Co to je vektor a konstantni vektor ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector
Ale pokud to nevis, obavam se, ze tento serial asi nebude pro tebe.

Dekuji za odpoved, ale odkaz je bohuzel ponekud stridmy a pro mne nedostatecny. Mne hrozne mate, ze nekdy je vektor usecka se sipkou jindy je to zase skupina cisel - proste chaos.

kdysi v minulém tisíciletí jsem napsal DOSový prohlížeč Mandelbrotovy množily. vnitřní smyčka napsána v assembleru numerického koprocesoru. mělo by to jet pod dosboxem...
http: http://www.sweb.cz/danielsoft/fraktal.zip

Pěkné ...

Ještě si vzpomínám (ale zatím se mi to nepodařilo vyhrabat) na jiný program, který před časem v dřevních BBS-kových "předinternetových" dobách koloval. Zobrazoval fraktály, ale trochu jiné povahy. Ty nejpěknější bych přirovnal k obrazu prohnutéhu listu kapradí.

Zajímavý na něm byl způsob, jak se zadávaly parametry pro výpočet - v rastru (dosti hrubém) se vybíraly vrcholy dvou trojúhelníků. A podle toho jak byl ten druhý protažený a pootočený oproti prvnímu se pak měnila podoba výsledného fraktálu.

Třeba si někdo vzpomene a vyhrabe to zpod nánosu zapomnění ...

Něco podobného je i v GIMPu:

Vykreslení->Příroda->IFS fraktál

Neco podopneho jsem resil ve sve diplomce (take minule tisicileti :-) Ale ten program, o ktery se zajimate, se jmenuje "Fractal Designer", nebo take zkracene "FDesigner" a.k.a. fdesign.exe.

Vytvarely se tak parametry IFS systemu, temi se urcite budeme zabyvat v nekterem z dalsich pokracovani tohoto serialu (tyto systemy vlastne tvori srdce fraktalni komprese obrazu).

...ale autor si s tím začal sám :-) Věta "... při výpočtu proudu protékajícího elektrickým obvodem můžeme napětí udávat ..." je maličko nelogická (když už počítám proud, proč chci udávat napětí?).

Jinak článek je i pro laika, jako jsem já, velmi přínosný (teď už si dokážu zhruba představit, o čem mluví teorie superstrun; ačkoli to sem moc nepatří, za tento přínos děkuji :-)

Přiznávám, že jsem trochu líný hledat to v Googlu, ale sem tu otázku připojím - zabývají se matematici i zápornými dimenzemi?

...možná by ho někdo chtěl udávat, když počítá proud z napětí (a třeba i toho odporu, o kterym se tam taky mluví)...

...maličko. Vaše vysvětlení je samozřejmě možné. Jenom mě to v té větě tak nějak praštilo, to je všechno (možná proto, že kolega vedle zrovna proud počítal :-)

Mrzí mě, že mému dotazu se zde nikdo (ani autor) nevěnoval :-/

Ja jsem se nad tim zamyslel a uvedomuju si, ze to je napsane spatne. V puvodni vete (tj. v prvni verzi clanku) se tam dvakrat vyskytovalo slovo "proud", coz mi prislo stylisticky nevhodne. Proto jsem to zmenil na napeti, ale neuvedomil jsem si, ze v nelinearnich obvodech ta zavislost mezi napetim a proudem je slozitejsi (takze ty pojmy nelze - z hlediska meritek! - zamenovat).

Rikate : Naznačeným způsobem je samozřejmě možné pokračovat dále, ale s dalšími dimenzemi nemáme osobní zkušenosti - v reálném světě za obvyklých podmínek prakticky neexistují.

Proc ta neurcitost? Za jakych podminek a v jakem "nenormalnim" svete se objevuji objekty vyssich dimenzi ?

Vyssi dimenze se podle teoretickych fyziku pri (pro lidi normalnich) podminkach neprojevuji - velmi zjednodusene a nepresne receno maji male meritko. Pokud se vsak jiz pocita s kvantovymi jevy, je nutne dalsi dimenze uvazovat.

Stejne je to v teorii relativity. Za normalnich (pro lidi) podminek se relativisticke jevy neuplatnuji, takze si vystacime se tremi dimenzemi (a oddelenym casem). Pri velkych rychlostech a hmotach vsak jiz musime pocitat s 4D casoprostorem.

Mohl byste uvest nejaky konkretnijsi pripad kvantovych jevu ve vicerozmernem prostoru, prip. nejakou literaturu nebo jine zdroje ? Dekuji :)

Teorie superstrun - tam se pracuje s 11 rozmery. Hledejte treba pod pojmem Calabi-Yauovy prostory nebo variety. Vyborna kniha Elegantni vesmir od Briana Greena by vam rekla vic.

elegantni vesmir je dobra knizka, ale doporucuju radsi precist v anglictine. cesky preklad neni spatny ale imho se moc nepovedl.

O tomto se zminuje napriklad Stephen Hawking, ktery tvrdi, ze dalsi rozmery byly po velkem tresku vsechny "stejne velke", ale pri vychladani vesmiru se postupne smrskly na viditelne 3+1. Nicmene ty dalsi rozmery stale existuji.

když se počítá HD u čtverce tak dělíme strany a počítame měřítko obsahů. u vločky ale dělíme strany a vyšetřujeme měřítko délek. proč ne měřítko obsahů, tak jako u čtverce? anebo naopak ?

U vlocky je jasne, ze jeji vnitrek ma topologickou i H. dimenzi rovnu dvema - vlocka je kreslena v rovine a je ji mozne opsat konecnou kruznici ci jinym plosnym tvarem (ta konecnost neni dulezita).

Zajimavejsi je ovsem hranice vlocky, ta je take v rovine (logicky), ale jedna se o krivku s topologickou dimenzi rovnou jedne. Takze jeji H. dimenze se muze pohybovat od jedne do dvou, proto ji ma cenu zjistovat.

"U vlocky je jasne, ze jeji vnitrek ma topologickou i H. dimenzi rovnu dvema "
...ja sem blbej, me to jasny neni :-(

Vlocka je nakreslena v 2D rovine (tj. "na papiru") a nikde se "nezataci" do 3D, tj. nikde netrci z papiru ven. Z toho vyplyva, ze jeji H. dimenze nemuze prekrocit dvojku, stejne jako u vsech ploch i krivek nakreslenych v 2D (na papiru). Takze mame prvni vztah:

H.d.<=2

Jeste musime urcit dolni mez. Vzhledem k tomu, ze vnitrek vlocky ma nenulovou plochu, je jeji topologicka dimenze rovna dvema (T.d==2) a diky vztahu:

T.d<=H.d

dostavame vysledne:

2<=H.d<=2

no a pro tento vztah nam plati pouze jeden vysledek: H.d=2

Neslo by pouzit drobnou modifikaci prvni moznosti - Jazyk C bez GUI: vystup grafiky do souboru pres univerzalni knihovnu (napr. ImageMagick nebo Imlib) ? Myslim, ze by to mohlo byt skoro stejne prehledne a umoznilo by to pouzivat misto nesmyslneho BMP moderni formaty jako PNG nebo JPG.

Ja jsem se nechtel zbytecne zapletat do zavislosti na dalsich knihovnach (nejedna se jen o zvolene knihovny, ale i o dalsi veci, ktere se tykaji napriklad metody LZ atd.). O ImageMagick pripadne o GD jsem uvazovat, ale ten prevod na dalsi formaty si muze ctenar udelat sam a lepe (co jsem zjistit, tak produkovana PNGcka nejsou v zadnem pripade optimalni ani pri "maximalni" komprimaci).

Nějak mi nejde do hlavy, proč nejde bod na Kochově vločce popsat jedním číslem. Připadá mi, že by to jít mělo. A jestli to jde, asi se míchají hrušky s jabkama, když se směšuje "kolik čísel popíše bod na objektu" a H. dimenze.
V čem se mýlím?

Nazdar Adame,

ten pocet parametru (nezavislych promennych vkladanych do rovnice ci soustavy rovnic) urcuje topologickou dimenzi, ta je u Kochovy vlocky rovna jedne (je to krivka).

Ted me nenapada, jakym konkretnim zpusobem by se ten bod na krivce popsal, tj. jak je mozne udelat mapovani z oboru realnych cisel (?) do ten slozity tvar, ale jit by to melo. Ze zacatku me napadlo, ze by mohlo jit o uhel poloprimky vychazejici ze stredu vlocky, ale takto jednoduse to nepujde, nebot by ta poloprimka vlocku protinala v (nekonecne) mnoha bodech. Nakres Ti muzu poslat, ale predstavu o tom si muzes udelat sam na obrazcich ze clanku.

Pokud by si nekdo chtel osahat fraktaly na vlastni kuzi uz nyni necht neztraci cas cekanim na nalsi cast serialu a pusti se do strihani. Predlohu lze nalezt na strance: http://www.kartinki.cz/show-pic-2554.html. Doporucuji pouzit velke a pizlajici nuzky neb se pote neni treba trapit s pocuchanymi okraji :o)

P.S.: Chudák pan Helge von Koch...

Hlavne formular "Chcete nas zalovat" nema chybu! =o)

Udelal jsem si maly programek a nejede mi vypocet Hausdorffovy dimenze..
V clanku u vypoctu H.dimenze bylo myslena fce Log jako prirozeny logaritmus tedy Ln nebo jako Log10 tj. lograritmus o zakladu 10?

Jako obvod jednotlivych iteraci vlocky mi vyslo:
0 iterace (trojuhelnik): 1144 px
1 iterace (hvezda) : 1526 px
2 iterace : 2034 px
3 iterace : 2713 px
pak tedy neplati veta "Při trojnásobném zjemnění se délka křivky zvětší čtyřikrát.." ale zvetsi se jen 2713/1144 krat, tj 2.37 krat, ne?
(desetiny neuvadim, nejsou ted podstatne)

To ani nemusite pocitat programove, staci tato uvaha: vezmu si puvodni trojuhelnik, ktery ma delku kazde strany rovnu jedne. Potom se kazda strana rozdeli na tri tretiny 1/3+1/3+1/3, prostredni tretina se vyjme a nahradi dvema stranami trojuhelnika, vzdy tedy pribude dalsi hrana o delce 1/3 puvodni strany.

Puvodni obvod je roven:
1+1+1=3

Obvod noveho obrazce:
(4/3)+(4/3)+(4/3)=4

Pomer obvodu=4/3

Takto se da iterativne pokracovat dale, vypocty s pixely (tj. na diskretnim) obrazu budou zatizeny nejakou chybou (v zavislosti na rozliseni), ale mely by se tomuto vypoctu priblizovat.

Uz jsem nasel chybu.. Zjemneni se mysli kolikrat bude vice novych usecek v i. iteraci nez v i-1. iteraci a ne rozdil iteraci di tj. i-(i-1).Uz to sedi..