Názory k článku
Fraktály v počítačové grafice III

gcc -L/usr/X11R6/lib fractals03_1.c -lglut -lGL -lGLU -lm -lX11 -lXmu

fractals03_1.c:16:91: GL/glut.h: není souborem ani adresářem
fractals03_1.c: In function `drawPixmap':
fractals03_1.c:76: error: `GL_RGB' undeclared (first use in this function)
fractals03_1.c:76: error: (Each undeclared identifier is reported only once
fractals03_1.c:76: error: for each function it appears in.)
fractals03_1.c:77: error: `GL_UNSIGNED_BYTE' undeclared (first use in this function)
fractals03_1.c: In function `onInit':
fractals03_1.c:153: error: `GL_UNPACK_ALIGNMENT' undeclared (first use in this function)
fractals03_1.c: In function `onResize':
fractals03_1.c:175: error: `GL_PROJECTION' undeclared (first use in this function)
fractals03_1.c: In function `onDisplay':
fractals03_1.c:188: error: `GL_COLOR_BUFFER_BIT' undeclared (first use in this function)
fractals03_1.c:189: error: `GL_FRONT' undeclared (first use in this function)


Jak se dají zkompilovat příklady, když nemám kartu s podporouopenGL (asi) :

Section "Device"
Identifier "Videocard0"
Driver "r128"
VendorName "Videocard vendor"
BoardName "ATI Rage 128"
EndSection

a ještě :

Section "Module"
Load "dbe"
Load "extmod"
Load "fbdevhw"
Load "glx"
Load "record"
Load "freetype"
Load "type1"
Load "dri"
EndSection


Předem díky za tipy

IMHO pokud nemas podporu opengl na karte, tak se pouzije softwarova emulace openGL X serveru. Pro tebe by to melo byt transparentni, ale samozrejme pomalejsi.

Prelozit program lze i na pocitaci bez graficke karty vubec, jina vec je pak ho spustit :-). V tomto pripade chybi hlavickove soubory knihovny opengl, takze je potreba nainstalovat devel-balicky. Presny nazev zavisi na pouzivane distribuci. Zkuste hledat neco jako mesaglut-devel, XFree86-Mesa-devel.

Díky za nakopnutí, ale pořád ještě tápu :
Jde o FC3, takže mám xorg.

Knihovny Mesa mám nainstalovány tyto :

$ rpm -qa | grep Mesa
xorg-x11-Mesa-libGL-6.8.2-1.FC3.45.2
xorg-x11-Mesa-libGLU-6.8.2-1.FC3.45.2

(nejsou z instalačního CD, ale z updatu)


Na serveru ftp.linux.cz jsou v odpovídajících adresářích knohovny, které se zabývají xorg a Mesa, ale nějak tu správnou -devel knihovnu mezi nimi nemůžu najít :



ncftp ...ux/core/updates/3/i386 > ls *Mesa*
xorg-x11-Mesa-libGLU-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm xorg-x11-Mesa-libGL-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm

(to jsou ty které už mám, žádná devel)

ncftp ...ux/core/updates/3/i386 > ls xorg*
xorg-x11-deprecated-libs-devel-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-deprecated-libs-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-devel-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-doc-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-font-utils-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-libs-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-Mesa-libGLU-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-Mesa-libGL-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-sdk-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-tools-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-twm-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-xauth-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-Xdmx-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-xdm-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-xfs-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-Xnest-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-Xvfb-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm
xorg-x11-6.8.2-1.FC3.45.2.i386.rpm

(tadu tu správnou -devel knihovnu nevidím)

ncftp ...ux/core/updates/3/i386 > ls *mesa*
(ani žádnou s názvem "mesa")

Tak nevím :-\

VYŘEŠENO !

Stačilo nainstalovat freeglut-devel

To nevadi, ze OpenGL neni HW podporovano. Staci si nainstalovat knihovnu (resp. soubor knihoven) Mesa, ale musi jit o devel balik, ktery obsahuje i hlavickove soubory gl/gl.h a gl/glut.h. V tech demonstracnich prikladech se stejne bude vetsinou cekat na CPU, takze pomalost vykreslovani nebude hrat takovou roli.

pokud nelze zkompilovat programy s grafikou, existuje lehci moznost
vybrat algoritmus generujici obrazek a souradnice bodu {x,y,z}
vypsat do textoveho souboru. ten pak uz jen lehce namalovat v gnuplotu:

***************************************************************************
int main()
{
int i;
double x,y,z,xn,yn,zn,dt,a,b,c;

a=3.0; b=26.5; c=1.0;
dt=0.01;
x=0.0; y=0.5; z=0.2;

for(i=0;i<100000;i++)
{
if(i%10==0) printf("%lf %lf %lf\n",x,y,z);
xn=x+(-a*x*dt)+(a*y*dt);
yn=y+(b*x*dt)-(y*dt)-(z*x*dt);
zn=z+(-c*z*dt)+(x*y*dt);

x=xn; y=yn; z=zn;
}


return 0;
}
***************************************************************************

kompilace: gcc blabla.c

spusteni: ./a.out > xyz

namalovani v gnuplotu jako 2D: plot 'xyz'

jako 3D: splot 'xyz'

pred int main() jsem zapomel vlozit radek #include<stdio.h>
a maluje to lorenzuv atraktor.

hi

vdaka za super clanok :-)

ja som musel kompilovat naviac s libpthread:
gcc -L/usr/X11R6/lib fractals03_2.c -lglut -lGL -lGLU -lm -lX11 -lXmu -lpthread

a este aby som predisiel aj warningom, pridal som:
#include <string.h>

A co to psalo za warningy, kdyz tam chybel ten #include? Trosku me to prekvapuje, zadne operace s retezci se tam neprovadi a malloc() je v stdlib.h.

fractals03_2.c: In function 'saveFramebuffer':
fractals03_2.c:51: warning: incompatible implicit declaration of built-in function 'memcpy'

Aha, to je vlastne pravda, memcpy je opravdu ve string.h, na to jsem zapomel. Na nekterych systemech se tento warning nehlasi, ale jenom diky tomu, ze se string.h naincluduje v jinych pouzitych headerech.

Zdravim, chtel jsem se zeptat, z jakeho dynamickeho systemu je ten obrazek podivneho atraktoru? Diky.

Je to dynamicky system v 3D generovany nasledujicimi rovnicemi:

xnew = sin(a*yold) - z*cos(b*xold)
ynew = z*sin(c*xold) - cos(d*yold)
znew = sin(xold)

Vhodne hodnoty parametru a,b,c:
a = 1..4
b = 0..2
c = -1..0
d = -5..+5

Chtel jsem jenom upozornit na nefunkcnost odkazu http://www.columbia.edu/~gae4/chaos/.
Clanky jsou velmi zajimave, tesim se na dalsi!

už se těším na pokračování. Myslím, že je přesně vyvážena čtivost i matematika/fyzika, aspoň pro mne. Mám jen pár všetečných dotazů:

ad soběpodobnost: říkáte, že (nějaká) invariance, pokud není doprovázena invariancí vůči změně měřítka, v žádném případě nedefinuje fraktál, ale "obyčejný" objekt Euklidovské geometrie. Přímka ale je invariantní vůči změně měřítka, přesto bychom ji za fraktál asi nechtěli považovat... Nevím, jestli existují přesné definice fraktálních množin a vím, že tento článek není psán stylem definice, věta, důkaz.

ad atraktory: Co je nespočitatelného na atraktoru soustavy dvou těles s gravitační interakcí? Sám dále v článku píšete, že tento problém je triviální (tomu rozumím jako "existuje analytické řešení").

Nestálo by za to zmínit logistickou rovnici? Hezky ukazuje ty bifurkace, pokud si dobře vzpomínám...

Ta definice fraktálu pomocí invariance opravdu pokulhává - viz první odstavec. Je to patrné hlavně u limitních případů, jakým je úsečka, plocha či prostor. (ono ale záleží na definici těch tvarů, z některých špatně uvedených definic může vyplývat, že úsečka je fraktálem s topologickou dimenzí rovnou nule a H. dimenzí rovnou jedné :-)

Atraktor soustavy dvou těles je za použití Newtonovské fyziky opravdu snadno řešitelný. Není tak tomu u soustavy tří navzájem se ovlivňujících těles.

Logistickou rovnicí se budu zabývat v dalších pokračováních, má některé velmi zajímavé vlastnosti (na to, jak je na první pohled jednoduchá) a vychází z ní celá další teorie.

asi myslel 3 teles.

U definice chaosu jste zapomnel na dulezitou vlastnost a to je nelinearita.
Neni pravda, ze budouci stav systemu neni zadnym moznym zpusobem mozne predpovedet, spise se jedna o to, ze tuto predpoved muzete udelat pouze do velmi kratke budoucnosti, viz. to zminovane pocasi, tj. nemuzete rict jak bude za pet let tento den, ale +/- muzete trefit jak bude zitra.
Myslim, ze realne pocasi je mnohem chaotictejsi a slozitejsi nez jakykoliv jeho model, aspon na me pusobi vase vyjadreni presne obracene :-). (dokonce i realne pocasi)
Lidske srdce je take chaoticky system, ale to bude pravdepodobne preferovane chovani v prirodnich systemech.

v jakem smyslu je lidske srdce chaoticke?
ekg lze celkem dobre modelovat i predikovat.

Nemeri se EKG ale HRV.

Pokud se na záznam srdeční činnosti díváte z makroskopického hlediska (ignorujete malé zákmity), opravdu ten tlukot vypadá pravidelně. Ve skutečnosti se tam však objevují dosti značné nepravidelnosti a pravidelný (periodický) signál se kupodivu objevuje pouze při vážných nemocech. Naopak u zdravého srdce jsou nepravidelnosti zcela normální (možná to nějak souvisí s tím, aby v těle nenastala nějaká rezonance, ta dělá problémy v mnoha jiných oborech).

Ja bych spis vsadil na to, ze system na mezi stability je schopen rychleji reagovat na vnejsi zmeny. (nahozeni srdce pri zastave pomoci elektrosoku nebo masaze)

Máte pravdu, možná jsem tu myšlenku "exponenciálního vzdalování" dvou stavů systému nevyjádřil přesně. Ano, předpověď na krátkou dobu (co je krátká doba závisí na sledovaném systému) je možné stav systému předpovědět, ale s rostoucí dobou se ta předpověd bude zhoršovat a od určitého stavu se jedná pouze o hádání.

(dokonce i reálné počasí) - tím jsem chtěl čtenáře upozornit na to, že zmiňovaná nelinearita a chaotičnost nevychází pouze z nedokonalých modelů počasí, ale jedná se o jednu z nejdůležitějších vlastností reálného počasí (tím paradoxněji působí různé návrhy superpočítačů na dlouhodobou předpověď počasí, to ať radši simulují skoky cen na burze :-). Dokonce se objevují studie, ve kterých se píše, že "nechaotické" počasí by se ustálilo v jednom ze dvou stavů: žhavá planeta se skleníkovými plyny (ala Venuše) či planeta pokrytá sněhem a ledem s vysokou odrazivostí (albedem?). Takže buďme rádi za to chaotické počasí, i když ty předpovědi někdy nevyjdou :-)))

Jde o to, ze dlouhodobe predpovedi pocasi POTREBUJEME (hlavne v oblasti hurikanu). Takze skutecne stoji za to postavit stokrat rychlejsi pocitac, aby dokazal predpovedet o den vic ... a neboj, burza je taky chaoticka a navic nelogicka.

Krome uvedene Venuse a Ganymeda nebo Europy i pro radu jinych planet plati, ze jejich pocasi je nechaoticke (a pro lidi nepouzitelne) ... mozna ty studie pocitali natvrdo s nekterymi parametry Zeme ?

Ja vim, ze burza je chaoticka, prave proto jsem to napsal :-)

Ano, to pocasi pocitalo s parametry Zeme, v podstate staci vzit planetu stejne velikosti, vnitrni energie, stejneho mnozstvi vody a podobne miry zareni, kterou Zeme ziskava ze Slunce. Jo a vlastne jeste magneticke pole, to je velmi dulezite.

Predne diky za bezvadne clanky, konecne jsem se dozvedel neco vic o atraktorech.

Z clanku jsem akorat nepochopil, co vlastne znamena 'nepredpoveditelny'. Muzu to chapat tak, ze proste pocasi na rok dopredu nepredpovim - viz nastineny princip neurcitosti, ale taky to muzu chapat tak, ze system je formalne nepredpoveditelny i pri hypoteticky presnem mereni. Osobne mi ta druha moznost zavani spis nabozenstvim, takze verim, ze jste myslel tu prvni.

Kdyz predpokladam diskretni svet, takze existuje nejaka nenulova (ne nekonecne mala !) pravdepodobnost, ze existuji nekde ve prazdnem koute vesmiru dva naprosto stejne stavy dvou castic, u kterych se bude system vyvyjet naprosto shodne, dokud nezasahne impuls zvnejsku.

Co rikate na takovou uvahu?

Krome fraktalu jsem si hral taky napr. s bunecnymi automaty, ktere jsou v principu diskretni a tam jsou prave take pripady vsech typu atraktoru, vcetne podivnych. Tam muzete predpovidat libovolne daleko dopredu - samozrejme porad se bavime o teorii, kde se da spocitat x-ty krok, kdyz na to mate neomezeny vypocetni cas.

Tu nepředpověditelnost vnímám takto:
Vezmete si nějaký "jednoduchý" fyzikální model, např. tři hmotné body s gravitačním působením, anebo válec ideálního plynu, který je odspodu zahříván a odshora chlazen. Pokusíte se zjistit, jak se to bude pohybovat, takže sestavíte příslušné (diferenciální) rovnice. A ouha. Matematická teorie dokazuje, že nemají analytické řešení. Vzoreček nebude. Nedá se nic dělat, zbývá numerika. V rovnicích jsou ale reálná čísla, výpočet však v omezeném čase (ať už je jakkoliv chytrý) počítá vždy s konečnou přesností. A v tom je jedno jádro pudla - rovnice jsou takové, že alespoň jeden bod z atraktoru má tu nepříjemnou vlastnost, že když chcete numerickým výpočtem odhadnout stav systému, který se nacházel poblíž tohoto (tzv. kritického) bodu, numerické chyby vždy nakonec převáží nad tou původní fyzikou - dostanete vpodstatě náhodný výsledek, i když fyzikální model je deterministický. Druhé jádro pudla je v tom, že pokud se snažíte fyzikální model použít na reálný fyzikální děj (třeba to počasí), nejen, že neumíte přesně počítat s reálnými čísly, vy neumíte ani přesně změřit ty počáteční podmínky. A některé systémy mají každý bod v atraktoru kritický...
Tak doufám, že moc nekecám :)

Hlavni problem je v tom, ze zadne hypoteticky presne mereni neni mozne udelat, protoze uz vlastni proces mereni dany system ovlivnuje. Takze nase poznani sveta je timto fenomenem omezeno a na vesmir se jiz neda divat jako na deterministicky stroj, ktery je mozne nezavazne zmerit a pochopit (take z toho duvodu, ze jsme sami nedilnou soucasti celeho procesu).

Princip neurcitosti nemluvi pouze o praxi - i z teoretickeho hlediska je proste nemozne nejen zmerit, ale dokonce i MIT uplnou informaci o stavu systemu v danem casovem bode (a pokud vezmes do uvahu i teorii relativity je to jeste horsi).

Za druhe: kvantova mechanika nerika, ze svet je diskretni. Ano, castice mohou prijimat a vydavat energii pouze v kvantech o nasobcich dane velikosti, ale neni pravda ze castice muze mit konecny pocet poloh. Vlastne je to mnohem horsi: na popis polohy castice ti nestaci tri realna cisla - potrebujes kompletni vlnovou funkci.

Ono se to da s tim, ze nelze MIT uplnou informaci, chapat i jinak. Werner Heisenberg si ve svych knizkach casto stezuje, ze musi mluvit o svete slovnikem a reci, ktera je k tomu naprosto nevhodna. Totiz kdyz mluvite o tom, ze tu informaci nelze mit, porad to zavani takovym tim: no co kdyz to jenom neumime.

Mnoho slov v nasem jazyce a konceptu o nich vnimame jaksi implicitne. Treba slovo pozice. Nejak jsme se tomu slovu naucili rozumet tak, ze jako (nehlede na meritko), ma kazdy objekt nejakou svoji pozici, coz je nejaka objektu vzhledem k prostoru, ve kterem zijeme, a tam v tu samou chvili zadny jiny objekt sedet nemuze. To, o cem se mluvi v kvantove fyzice, neni to, ze tuto bajnou ,,pozici'' neumime merit, nebo ze o ni nemuzeme mit informaci. Mluvi se o tom, ze koncept ,,pozice'' v nasi hlave vlastne neni vhodny pro popis sveta na malych meritcich (proc by taky zrovna mel byt, ze...). Ze neco jako ta nase ,,pozice'' vubec neexistuje.

Samozrejme, abychom byli schopni vubec neco o fyzice rikat, musime si vystacit s tim, ze o novych vecech budeme mluvit starym jazykem (kdyz zadny novy nemame, snad krome matematiky, ale ta je nam casto nesrozumitelna). Musime teda mluvit jakoby o neurcitosti pozice. Ale vlastne je to tautologie. Kdybychom uzivali vhodneho jazyka pro popis mikrosveta, slovo ,,pozice'' by uz tuto skutecnost zahrnovalo. Proste pozice je nejaka vlastnost objektu vzhledem k prostoru s presnosti planckovy konstanty.

Ted by me mohl nekdo napadat, ze vlastne ta presnost pozice zavisi i na presnosti rychlosti a tedy vlastne neco jako ,,presna pozice'' smysl ma. Pravda, mluvit o mikrosvete s uzitim slov ,,pozice'' a ,,rychlost'' je vubec nestastne uz od zacatku :)

Alespon tak to chapal Heisenberg (coz samozrejme neznamena, ze to neobsahuje nejakou hloupost).

ja mam opacny dotaz, nez byl dotaz na to, proc je chaoticky system typu pocasi nepredpoveditelny. to je mi jasne, ze neni. nechapu ale, proc o nem mluvite jako o deterministickem. imho je jednim z hlavnich duvodu jeho nepredpoveditelnosti jeho nedeterministicnost, je stochasticky. metameaticke chaoticke systemy deterministicke jsou, ale v realnem pocasi preci hraje roli nejen mavani motylich kridel, ale analogicky nutne stochasticke termalni pohyby molekul atd. tedy cely system se musi chovat stochasticky

Me slo hlavne o ten matematicky model (resp. modely, ukazan byl ten nejjednodussi), ktery sam o sobe s nahodnosti nepocita, protoze se v nem nevyskytuje zadna takova "nahodna" funkce ani operator. Z tohoto pohledu je uvedeny matematicky model deterministicky.

jj, a v javě to taky nefunguje. ZX spectrum mi to taky nevzalo.... ještě to skus zkompilovat fortranem....