Křivky NURBS (1)

Jana Procházková 3. 3. 2006

Už v 60. letech minulého století pánové Bézier a de Casteljau, inženýři francouzského Renaultu a Citroenu, řešili problém hladkých tvarů karoserií. Jejich splajny otevřely cestu nurbsům, které jsou dnes součástí většiny profesionálních grafických softwarů. Co se za nimi ale skrývá?

Čím jsou nurbsy tak zvláštní?

Každý, kdo alespoň někdy zabrousil do grafiky, se s nurbs křivkami i plochami setkal. V současné době se nurbsy používají při konstrukci obecných tvarů – v automobilovém designu, letectví, filmové animaci. Ale proč? Výhodné na nich jsou:

  • neomezené konstrukční možnosti – modifikace polohy bodu, váhy, uzlového vektoru, stupně
  • rychlý, stabilní algoritmus
  • lokální kontrolovatelnost – při změně (např. bodu, váhy) dochází pouze k lokální změně křivky, zrychluje výpočet a vykreslování
  • zachování spojitosti při změnách
  • projektivní invariantnost – při základních transformacích – rotace, posunutí, zkosení – stačí zobrazit pouze řídící body a křivku znovu vypočítat, zrychluje výpočet
  • konstrukce kuželosečkových oblouků

Trocha teorie na úvod

Základy teorie B-splajnů položil Iso Schoenberg. K jeho pokračovatelům patří Carl de Boor, který sepsal celý teoretický základ B-splajnů.

Základní definice nurbs křivek zní:

Mějme dáno m+1 kontrolních bodů Pi, m+1 kladných reálných čísel wi nazývaných váhy, stupeň křivky n a uzlový vektor t = (t0, t1, … t{n+m+1}).

NURBS křivka je definována jako

nurbs1

kde

nurbs2

Bázová funkce Ninje definována rekurentně:

Nechť t = (t0, t1, … ts) je uzlový vektor. B-spline funkce stupně n je definována jako

nurbs3

kde

nurbs4

Za každou nurbs křivkou či plochou se ukrývají tyto základní rovnice. Nurbs plocha vzniká jako tenzorový součin dvou nurbs křivek. Hlavním důvodem složitosti vzorců je to, že pro každý parametr t se vypočítají jiné bázové polynomy, na rozdíl od Bezierových či Coonsových křivek.

Na závěr uvedu malý příklad. Kružnice je jednoduchý objekt, zadáte střed a poloměr a je to. Ale zadání kružnice jako nurbs křivky se stává skoro magickou záležitostí. Je potřeba devět řídících bodů umístěných do čtverce se speciálními vahami a uzlový vektor.

Kružnice se středem [0, 0] a poloměrem r = 1.
Stupeň křivky: 2 Body: [1, 0] , [1, 1] , [0, 1] , [−1, 1] , [−1, 0] , [−1,−1] , [0,−1] , [1,−1] , [1, 0]

nurbs5

A jak se obecná nurbs křivka naprogramuje se dozvíte příště …

Ohodnoťte jako ve škole:

Průměrná známka 2,92

Našli jste v článku chybu?
Zasílat nově přidané názory e-mailem
Vitalia.cz: Martin Kasa o byznysu s léky

Martin Kasa o byznysu s léky

Vitalia.cz: Taky ji kupujete? Je šizená

Taky ji kupujete? Je šizená

Vitalia.cz: Falšovaný salám v Kauflandu

Falšovaný salám v Kauflandu

Měšec.cz: Udali ho na nelegální software a přišla Policie

Udali ho na nelegální software a přišla Policie

120na80.cz: Tady se vaří padělané léky

Tady se vaří padělané léky

DigiZone.cz: Panasonic v Praze uvedl TV pro rok 2016

Panasonic v Praze uvedl TV pro rok 2016

Podnikatel.cz: Šizený guláš na pultě. Jako Lidl to nedělejte

Šizený guláš na pultě. Jako Lidl to nedělejte

Podnikatel.cz: Etický kodex firmy nezachrání

Etický kodex firmy nezachrání

Podnikatel.cz: Přechod z OSVČ na firmu? Totální šok!

Přechod z OSVČ na firmu? Totální šok!

120na80.cz: Zjistěte, zda je vaše klíště infikované

Zjistěte, zda je vaše klíště infikované

DigiZone.cz: V RS7 ukončila vysílání Retro Music Television

V RS7 ukončila vysílání Retro Music Television

DigiZone.cz: Rádio Retro spouští stream o Karlu IV.

Rádio Retro spouští stream o Karlu IV.

Podnikatel.cz: Konečně vývar. Skoro jako od Steva Jobse

Konečně vývar. Skoro jako od Steva Jobse

DigiZone.cz: Podzim přinese sport Viasat Ultra HD

Podzim přinese sport Viasat Ultra HD

Podnikatel.cz: Různé podoby lahve Coca–Coly. Úchvatné

Různé podoby lahve Coca–Coly. Úchvatné

Vitalia.cz: Mražené ryby z Makra byly falšované

Mražené ryby z Makra byly falšované

Vitalia.cz: 10 rad šéfkuchařů pro perfektní grilování

10 rad šéfkuchařů pro perfektní grilování

Vitalia.cz: Před, nebo po snídani? Kdy je lepší čistit si zuby

Před, nebo po snídani? Kdy je lepší čistit si zuby

120na80.cz: Jak si udržet zdravou vaginu

Jak si udržet zdravou vaginu

DigiZone.cz: Šlágr TV: pokuta 100 tisíc za on-line

Šlágr TV: pokuta 100 tisíc za on-line