Křivky NURBS (1)

Jana Procházková 3. 3. 2006

Už v 60. letech minulého století pánové Bézier a de Casteljau, inženýři francouzského Renaultu a Citroenu, řešili problém hladkých tvarů karoserií. Jejich splajny otevřely cestu nurbsům, které jsou dnes součástí většiny profesionálních grafických softwarů. Co se za nimi ale skrývá?

Čím jsou nurbsy tak zvláštní?

Každý, kdo alespoň někdy zabrousil do grafiky, se s nurbs křivkami i plochami setkal. V současné době se nurbsy používají při konstrukci obecných tvarů – v automobilovém designu, letectví, filmové animaci. Ale proč? Výhodné na nich jsou:

  • neomezené konstrukční možnosti – modifikace polohy bodu, váhy, uzlového vektoru, stupně
  • rychlý, stabilní algoritmus
  • lokální kontrolovatelnost – při změně (např. bodu, váhy) dochází pouze k lokální změně křivky, zrychluje výpočet a vykreslování
  • zachování spojitosti při změnách
  • projektivní invariantnost – při základních transformacích – rotace, posunutí, zkosení – stačí zobrazit pouze řídící body a křivku znovu vypočítat, zrychluje výpočet
  • konstrukce kuželosečkových oblouků

Trocha teorie na úvod

Základy teorie B-splajnů položil Iso Schoenberg. K jeho pokračovatelům patří Carl de Boor, který sepsal celý teoretický základ B-splajnů.

Základní definice nurbs křivek zní:

Mějme dáno m+1 kontrolních bodů Pi, m+1 kladných reálných čísel wi nazývaných váhy, stupeň křivky n a uzlový vektor t = (t0, t1, … t{n+m+1}).

NURBS křivka je definována jako

nurbs1

kde

nurbs2

Bázová funkce Ninje definována rekurentně:

Nechť t = (t0, t1, … ts) je uzlový vektor. B-spline funkce stupně n je definována jako

nurbs3

kde

nurbs4

Za každou nurbs křivkou či plochou se ukrývají tyto základní rovnice. Nurbs plocha vzniká jako tenzorový součin dvou nurbs křivek. Hlavním důvodem složitosti vzorců je to, že pro každý parametr t se vypočítají jiné bázové polynomy, na rozdíl od Bezierových či Coonsových křivek.

Na závěr uvedu malý příklad. Kružnice je jednoduchý objekt, zadáte střed a poloměr a je to. Ale zadání kružnice jako nurbs křivky se stává skoro magickou záležitostí. Je potřeba devět řídících bodů umístěných do čtverce se speciálními vahami a uzlový vektor.

Kružnice se středem [0, 0] a poloměrem r = 1.
Stupeň křivky: 2 Body: [1, 0] , [1, 1] , [0, 1] , [−1, 1] , [−1, 0] , [−1,−1] , [0,−1] , [1,−1] , [1, 0]

nurbs5

A jak se obecná nurbs křivka naprogramuje se dozvíte příště …

Našli jste v článku chybu?
Vitalia.cz: Jeďte do lázní, to je holistika

Jeďte do lázní, to je holistika

DigiZone.cz: Boj Markízy a Novy o federální trh vrcholí

Boj Markízy a Novy o federální trh vrcholí

120na80.cz: Aktivita klíšťat: stupeň 9

Aktivita klíšťat: stupeň 9

Měšec.cz: Cestujte bez starostí, získejte výhodné pojištění

Cestujte bez starostí, získejte výhodné pojištění

DigiZone.cz: Světlé zítřky gaučových sportovců

Světlé zítřky gaučových sportovců

Vitalia.cz: Jíme přesolené potraviny. Zrovna tyhle

Jíme přesolené potraviny. Zrovna tyhle

Root.cz: Quake slaví 20 let novou epizodou zdarma

Quake slaví 20 let novou epizodou zdarma

DigiZone.cz: Markíza: tady je předběžné opatření

Markíza: tady je předběžné opatření

Měšec.cz: TEST: Vyzkoušeli jsme pražské taxikáře

TEST: Vyzkoušeli jsme pražské taxikáře

Lupa.cz: Zkoušeli operátoři manipulovat měření LTE?

Zkoušeli operátoři manipulovat měření LTE?

DigiZone.cz: Náhrada za nevrácená zařízení?

Náhrada za nevrácená zařízení?

Vitalia.cz: 5 porcí ovoce a zeleniny: no ale jak na to?

5 porcí ovoce a zeleniny: no ale jak na to?

DigiZone.cz: Skylink: Nova Sport volně

Skylink: Nova Sport volně

DigiZone.cz: ČTÚ květen: rušení TV vysílání narůstá

ČTÚ květen: rušení TV vysílání narůstá

120na80.cz: Krémy, nebo spreje na opalování?

Krémy, nebo spreje na opalování?

120na80.cz: Léky a dietní opatření při kopřivce

Léky a dietní opatření při kopřivce

DigiZone.cz: Pardubicko: Výrazně posílen Mux 3

Pardubicko: Výrazně posílen Mux 3

Měšec.cz: Ceny PHM v Evropě. Finty na úspory

Ceny PHM v Evropě. Finty na úspory

DigiZone.cz: Slováci první, Češi třetí. Krásný...

Slováci první, Češi třetí. Krásný...

Měšec.cz: Od kdy musí studenti platit pojistné?

Od kdy musí studenti platit pojistné?