Křivky NURBS (1)

Jana Procházková 3. 3. 2006

Už v 60. letech minulého století pánové Bézier a de Casteljau, inženýři francouzského Renaultu a Citroenu, řešili problém hladkých tvarů karoserií. Jejich splajny otevřely cestu nurbsům, které jsou dnes součástí většiny profesionálních grafických softwarů. Co se za nimi ale skrývá?

Čím jsou nurbsy tak zvláštní?

Každý, kdo alespoň někdy zabrousil do grafiky, se s nurbs křivkami i plochami setkal. V současné době se nurbsy používají při konstrukci obecných tvarů – v automobilovém designu, letectví, filmové animaci. Ale proč? Výhodné na nich jsou:

  • neomezené konstrukční možnosti – modifikace polohy bodu, váhy, uzlového vektoru, stupně
  • rychlý, stabilní algoritmus
  • lokální kontrolovatelnost – při změně (např. bodu, váhy) dochází pouze k lokální změně křivky, zrychluje výpočet a vykreslování
  • zachování spojitosti při změnách
  • projektivní invariantnost – při základních transformacích – rotace, posunutí, zkosení – stačí zobrazit pouze řídící body a křivku znovu vypočítat, zrychluje výpočet
  • konstrukce kuželosečkových oblouků

Trocha teorie na úvod

Základy teorie B-splajnů položil Iso Schoenberg. K jeho pokračovatelům patří Carl de Boor, který sepsal celý teoretický základ B-splajnů.

Základní definice nurbs křivek zní:

Mějme dáno m+1 kontrolních bodů Pi, m+1 kladných reálných čísel wi nazývaných váhy, stupeň křivky n a uzlový vektor t = (t0, t1, … t{n+m+1}).

NURBS křivka je definována jako

nurbs1

kde

nurbs2

Bázová funkce Ninje definována rekurentně:

Nechť t = (t0, t1, … ts) je uzlový vektor. B-spline funkce stupně n je definována jako

nurbs3

kde

nurbs4

Za každou nurbs křivkou či plochou se ukrývají tyto základní rovnice. Nurbs plocha vzniká jako tenzorový součin dvou nurbs křivek. Hlavním důvodem složitosti vzorců je to, že pro každý parametr t se vypočítají jiné bázové polynomy, na rozdíl od Bezierových či Coonsových křivek.

Na závěr uvedu malý příklad. Kružnice je jednoduchý objekt, zadáte střed a poloměr a je to. Ale zadání kružnice jako nurbs křivky se stává skoro magickou záležitostí. Je potřeba devět řídících bodů umístěných do čtverce se speciálními vahami a uzlový vektor.

Kružnice se středem [0, 0] a poloměrem r = 1.
Stupeň křivky: 2 Body: [1, 0] , [1, 1] , [0, 1] , [−1, 1] , [−1, 0] , [−1,−1] , [0,−1] , [1,−1] , [1, 0]

nurbs5

A jak se obecná nurbs křivka naprogramuje se dozvíte příště …

Ohodnoťte jako ve škole:

Průměrná známka 2,92

Našli jste v článku chybu?
Zasílat nově přidané příspěvky e-mailem
Podnikatel.cz: Sick day ve hře. Ale s přísnými pravidly

Sick day ve hře. Ale s přísnými pravidly

120na80.cz: V zákulisí farmafirmy: růžový, ale i bílý Ibalgin

V zákulisí farmafirmy: růžový, ale i bílý Ibalgin

Lupa.cz: Lepší než Google: proč používat DuckDuckGo?

Lepší než Google: proč používat DuckDuckGo?

Lupa.cz: Wi-Fi o vás ví mnohé. Co umí hotspot v hospodě?

Wi-Fi o vás ví mnohé. Co umí hotspot v hospodě?

Lupa.cz: Jak hackovat banky? Útočníci mají nový trik

Jak hackovat banky? Útočníci mají nový trik

Měšec.cz: Nové tarify? Výsměch všem šetřílkům

Nové tarify? Výsměch všem šetřílkům

Podnikatel.cz: Není jim to, tak to vrátí. Víme, jak na ně

Není jim to, tak to vrátí. Víme, jak na ně

Podnikatel.cz: Co všechno se mění v účetnictví?

Co všechno se mění v účetnictví?

Root.cz: EU chce zrušit anonymní platby

EU chce zrušit anonymní platby

Měšec.cz: Braňte se zdražování elektřiny. Pošlete úřadu svůj názor

Braňte se zdražování elektřiny. Pošlete úřadu svůj názor

Vitalia.cz: Pozor na potraviny s atropinem

Pozor na potraviny s atropinem

Vitalia.cz: Nafotila svůj boj s rakovinou

Nafotila svůj boj s rakovinou

Root.cz: Orange Pi Plus: malý počítač s Wi-Fi a SATA

Orange Pi Plus: malý počítač s Wi-Fi a SATA

120na80.cz: Domácí homeopatická lékárnička

Domácí homeopatická lékárnička

Lupa.cz: Vlhký sen vnitra se splnil: vznikl státní podnik pro IT

Vlhký sen vnitra se splnil: vznikl státní podnik pro IT

Lupa.cz: Většině vašich přátel z Facebooku jste ukradení

Většině vašich přátel z Facebooku jste ukradení

Vitalia.cz: Pro otrlé: 42 obrázků, které budou na cigaretách

Pro otrlé: 42 obrázků, které budou na cigaretách

Vitalia.cz: Jak posílit ledviny? Škodí jim strava i stres

Jak posílit ledviny? Škodí jim strava i stres

Podnikatel.cz: First minute funguje. Čím dřív, tím levněji

First minute funguje. Čím dřív, tím levněji

Podnikatel.cz: Nechtějí vrátit odpočet DPH? Chtějte úrok

Nechtějí vrátit odpočet DPH? Chtějte úrok

Ušetřete