Křivky NURBS (1)

Jana Procházková 3. 3. 2006

Už v 60. letech minulého století pánové Bézier a de Casteljau, inženýři francouzského Renaultu a Citroenu, řešili problém hladkých tvarů karoserií. Jejich splajny otevřely cestu nurbsům, které jsou dnes součástí většiny profesionálních grafických softwarů. Co se za nimi ale skrývá?

Čím jsou nurbsy tak zvláštní?

Každý, kdo alespoň někdy zabrousil do grafiky, se s nurbs křivkami i plochami setkal. V současné době se nurbsy používají při konstrukci obecných tvarů – v automobilovém designu, letectví, filmové animaci. Ale proč? Výhodné na nich jsou:

  • neomezené konstrukční možnosti – modifikace polohy bodu, váhy, uzlového vektoru, stupně
  • rychlý, stabilní algoritmus
  • lokální kontrolovatelnost – při změně (např. bodu, váhy) dochází pouze k lokální změně křivky, zrychluje výpočet a vykreslování
  • zachování spojitosti při změnách
  • projektivní invariantnost – při základních transformacích – rotace, posunutí, zkosení – stačí zobrazit pouze řídící body a křivku znovu vypočítat, zrychluje výpočet
  • konstrukce kuželosečkových oblouků

Trocha teorie na úvod

Základy teorie B-splajnů položil Iso Schoenberg. K jeho pokračovatelům patří Carl de Boor, který sepsal celý teoretický základ B-splajnů.

Základní definice nurbs křivek zní:

Mějme dáno m+1 kontrolních bodů Pi, m+1 kladných reálných čísel wi nazývaných váhy, stupeň křivky n a uzlový vektor t = (t0, t1, … t{n+m+1}).

NURBS křivka je definována jako

nurbs1

kde

nurbs2

Bázová funkce Ninje definována rekurentně:

Nechť t = (t0, t1, … ts) je uzlový vektor. B-spline funkce stupně n je definována jako

nurbs3

kde

nurbs4

Za každou nurbs křivkou či plochou se ukrývají tyto základní rovnice. Nurbs plocha vzniká jako tenzorový součin dvou nurbs křivek. Hlavním důvodem složitosti vzorců je to, že pro každý parametr t se vypočítají jiné bázové polynomy, na rozdíl od Bezierových či Coonsových křivek.

Na závěr uvedu malý příklad. Kružnice je jednoduchý objekt, zadáte střed a poloměr a je to. Ale zadání kružnice jako nurbs křivky se stává skoro magickou záležitostí. Je potřeba devět řídících bodů umístěných do čtverce se speciálními vahami a uzlový vektor.

widgety

Kružnice se středem [0, 0] a poloměrem r = 1.
Stupeň křivky: 2 Body: [1, 0] , [1, 1] , [0, 1] , [−1, 1] , [−1, 0] , [−1,−1] , [0,−1] , [1,−1] , [1, 0]

nurbs5

A jak se obecná nurbs křivka naprogramuje se dozvíte příště …

Našli jste v článku chybu?
Vitalia.cz: V Kauflandu už začaly Vánoce

V Kauflandu už začaly Vánoce

Lupa.cz: Proč jsou firemní počítače pomalé?

Proč jsou firemní počítače pomalé?

Podnikatel.cz: Byla finanční manažerka, teď cvičí jógu

Byla finanční manažerka, teď cvičí jógu

DigiZone.cz: Světový pohár v přímém přenosu na ČT

Světový pohár v přímém přenosu na ČT

Vitalia.cz: Tesco nabízí desítky tun jídla zdarma

Tesco nabízí desítky tun jídla zdarma

Vitalia.cz: Jak Ondra o astma přišel

Jak Ondra o astma přišel

Podnikatel.cz: ČSSZ posílá přehled o důchodovém kontě

ČSSZ posílá přehled o důchodovém kontě

Vitalia.cz: Muž, který miluje příliš. Ženám neimponuje

Muž, který miluje příliš. Ženám neimponuje

DigiZone.cz: Digi Slovakia zařazuje stanice SPI

Digi Slovakia zařazuje stanice SPI

Podnikatel.cz: Udělali jsme velkou chybu, napsal Čupr

Udělali jsme velkou chybu, napsal Čupr

Vitalia.cz: Pryč se zastaralým stravováním ve školách

Pryč se zastaralým stravováním ve školách

Lupa.cz: Jak se prodává firma za miliardu?

Jak se prodává firma za miliardu?

DigiZone.cz: Parlamentní listy: kde končí PR...

Parlamentní listy: kde končí PR...

Lupa.cz: Blíží se konec Wi-Fi sítí bez hesla?

Blíží se konec Wi-Fi sítí bez hesla?

Root.cz: Hořící telefon Samsung Note 7 zapálil auto

Hořící telefon Samsung Note 7 zapálil auto

Vitalia.cz: Jsou vegani a vyrábějí nemléko

Jsou vegani a vyrábějí nemléko

Podnikatel.cz: Instalatér, malíř a elektrikář. "Vymřou"?

Instalatér, malíř a elektrikář. "Vymřou"?

Lupa.cz: Další Češi si nechali vložit do těla čip

Další Češi si nechali vložit do těla čip

DigiZone.cz: Wimbledon na Nova Sport až do 2019

Wimbledon na Nova Sport až do 2019

120na80.cz: Co je padesátkrát sladší než cukr?

Co je padesátkrát sladší než cukr?