Křivky NURBS (1)

Jana Procházková 3. 3. 2006

Už v 60. letech minulého století pánové Bézier a de Casteljau, inženýři francouzského Renaultu a Citroenu, řešili problém hladkých tvarů karoserií. Jejich splajny otevřely cestu nurbsům, které jsou dnes součástí většiny profesionálních grafických softwarů. Co se za nimi ale skrývá?

Čím jsou nurbsy tak zvláštní?

Každý, kdo alespoň někdy zabrousil do grafiky, se s nurbs křivkami i plochami setkal. V současné době se nurbsy používají při konstrukci obecných tvarů – v automobilovém designu, letectví, filmové animaci. Ale proč? Výhodné na nich jsou:

  • neomezené konstrukční možnosti – modifikace polohy bodu, váhy, uzlového vektoru, stupně
  • rychlý, stabilní algoritmus
  • lokální kontrolovatelnost – při změně (např. bodu, váhy) dochází pouze k lokální změně křivky, zrychluje výpočet a vykreslování
  • zachování spojitosti při změnách
  • projektivní invariantnost – při základních transformacích – rotace, posunutí, zkosení – stačí zobrazit pouze řídící body a křivku znovu vypočítat, zrychluje výpočet
  • konstrukce kuželosečkových oblouků

Trocha teorie na úvod

Základy teorie B-splajnů položil Iso Schoenberg. K jeho pokračovatelům patří Carl de Boor, který sepsal celý teoretický základ B-splajnů.

Základní definice nurbs křivek zní:

Mějme dáno m+1 kontrolních bodů Pi, m+1 kladných reálných čísel wi nazývaných váhy, stupeň křivky n a uzlový vektor t = (t0, t1, … t{n+m+1}).

NURBS křivka je definována jako

nurbs1

kde

nurbs2

Bázová funkce Ninje definována rekurentně:

Nechť t = (t0, t1, … ts) je uzlový vektor. B-spline funkce stupně n je definována jako

nurbs3

kde

nurbs4

Za každou nurbs křivkou či plochou se ukrývají tyto základní rovnice. Nurbs plocha vzniká jako tenzorový součin dvou nurbs křivek. Hlavním důvodem složitosti vzorců je to, že pro každý parametr t se vypočítají jiné bázové polynomy, na rozdíl od Bezierových či Coonsových křivek.

Na závěr uvedu malý příklad. Kružnice je jednoduchý objekt, zadáte střed a poloměr a je to. Ale zadání kružnice jako nurbs křivky se stává skoro magickou záležitostí. Je potřeba devět řídících bodů umístěných do čtverce se speciálními vahami a uzlový vektor.

Kružnice se středem [0, 0] a poloměrem r = 1.
Stupeň křivky: 2 Body: [1, 0] , [1, 1] , [0, 1] , [−1, 1] , [−1, 0] , [−1,−1] , [0,−1] , [1,−1] , [1, 0]

nurbs5

A jak se obecná nurbs křivka naprogramuje se dozvíte příště …

Našli jste v článku chybu?
DigiZone.cz: Čechy baví komedie, Slováky animace

Čechy baví komedie, Slováky animace

DigiZone.cz: Vláda schválila digitální vysílání ČRo

Vláda schválila digitální vysílání ČRo

Root.cz: Xiaomi má vlastní notebook podobný Macu

Xiaomi má vlastní notebook podobný Macu

120na80.cz: Lepší poporodní sexuální život? Žádný problém

Lepší poporodní sexuální život? Žádný problém

Lupa.cz: Elektronika tajemství zbavená. Jak s ní začít?

Elektronika tajemství zbavená. Jak s ní začít?

DigiZone.cz: Sky Deutschland: dvakrát fotbal ve 4K

Sky Deutschland: dvakrát fotbal ve 4K

Lupa.cz: Samořídicí taxíky jsou tu. Začíná s nimi Uber

Samořídicí taxíky jsou tu. Začíná s nimi Uber

Měšec.cz: Test: Výběry z bankomatů v cizině a kurzy

Test: Výběry z bankomatů v cizině a kurzy

Podnikatel.cz: Kdy s příjmy není třeba platit zdravotko?

Kdy s příjmy není třeba platit zdravotko?

DigiZone.cz: Elektrická Formule E. Práva má Arena Sport

Elektrická Formule E. Práva má Arena Sport

Měšec.cz: Investiční pasti. Děláte to, co ostatní, ale proděláváte

Investiční pasti. Děláte to, co ostatní, ale proděláváte

Lupa.cz: Měřičům síly hesla se nedá věřit. Víte proč?

Měřičům síly hesla se nedá věřit. Víte proč?

Root.cz: Čína má nejvýkonnější počítač světa

Čína má nejvýkonnější počítač světa

Měšec.cz: Ceny PHM v Evropě. Finty na úspory

Ceny PHM v Evropě. Finty na úspory

Měšec.cz: Kdy dostanete úvěr jen za diskontní sazbu?

Kdy dostanete úvěr jen za diskontní sazbu?

Lupa.cz: Kdy mi to jede? Pražská MHD má nové aplikace

Kdy mi to jede? Pražská MHD má nové aplikace

Vitalia.cz: 9 potravin, které nesmí chybět v jídelníčku těhotné

9 potravin, které nesmí chybět v jídelníčku těhotné

Podnikatel.cz: Zajímavý paradox: Daří se vedle konkurence

Zajímavý paradox: Daří se vedle konkurence

Měšec.cz: Se stavebkem k soudu už (většinou) nemusíte

Se stavebkem k soudu už (většinou) nemusíte

120na80.cz: Víte, co je svobodná menstruace?

Víte, co je svobodná menstruace?