Názor k článku
Network coding v peer-to-peer sieťach

Na pochopenie myšlienky zrejme stačí matematika základnej školy. Ale veľa vecí je tam skrytých. Napr. pri násobení n-bitového čísla (blok) koeficientom (16-bitové číslo) normálne potrebujete k*n bitových operácií, kde k je počet jednotkových bitov v koeficiente. Ale to násobenie sa dá robiť v 2 bytových operáciách použitím modulárnej reprezentácie.

Každý blok je prvkom telesa GF(2^(2^m)), pre predstavu si za m dosaďte napr. 23 pre 1 MB bloky (2^23=1MB*8 bitov/byte). Teleso GF(2^(2^m)) je izomorfné vektorovému priestoru dimenzie d nad telesom GF(2^(2^m/d)). Inak povedané, každý prvok (blok) sa dá vyjadriť ako vektor dĺžky d, každý prvok je 2^m/d bitové číslo. 1MB blok sa dá vyjadriť napr. ako vektor 1024*1024 bajtov. To je zrejme celkom jasné.

Trik je, že modulárna reprezentácia je homomorfizmus (alebo izomorfizmus v tomto prípade). To znamená, že násobenie môžme robiť po zložkách. Napr. použijeme vektorový priestor nad GF(2^8), každý blok sa dá zobraziť na vektor bytov. Násobenie obrovského čísla koeficientom s vektorovou reprezentáciou (0, 0, 0, ..., 0, 0, a, b) nám zabere len 2 bytové operácie.

Prevod z "normálnej" do modulárnej reprezentácie ale trvá d*log(d) (Fast Fourier Transform). Lenže my si môžme predstaviť, že bloky súboru už v modulárnej reprezentácii sú, takže žiadny prevod nás zaťažovať nebude. Nakoniec je sčítanie paradoxne pomalšie než násobenie malým koeficientom :-)

Násobenie a invertovanie v GF(2^8) sa dá jednoducho implementovať predpočítanými tabuľkami, 16kB tabuľka pre násobenie (matica 256x256) a pole 256 bytov pre invertovanie. Sčítanie je xor.