Fraktály v počítačové grafice II

Obsah

1. Dimenze
2. Topologická dimenze
3. Hausdorffova dimenze
4. Fraktál
5. Měření Hausdorffovy dimenze
      5.1 Úsečka
      5.2 Čtverec
      5.3 Krychle
      5.4 Křivka Helge von Kocha
6. Hausdorffova dimenze vybraných přírodních útvarů
7. Obsah dalšího pokračování tohoto seriálu

1. Dimenze

Ústřední pojem při zkoumání fraktálů hraje jejich dimenze, a to jak dimenze topologická, tak i dimenze fraktální (někdy také nazývaná dimenze Hausdorffova podle německého profesora židovského původu Felixe Hausdorffa). Ve druhé kapitole bude popsána topologická dimenze (tj. dimenze geometricky hladkých útvarů), v kapitole třetí dimenze Hausdorffova (tj. dimenze objektů, které obecně vykazují fraktální strukturu).

2. Topologická dimenze

Geometricky hladké objekty, které je možné popsat klasickou Euklidovskou geometrií, mají celočíselnou dimenzi, nazývanou také topologická dimenze (před zkoumáním fraktálů si vědci vystačili právě s touto dimenzí). Pokud si celou problematiku zjednodušíme, můžeme říci, že topologická dimenze určuje počet parametrů (nezávislých proměnných), kterým lze dané těleso (resp. každý bod na tělese) popsat. Například bod má nulovou dimenzi, jelikož je sám popsán vztahem P=X (tj. konstantním vektorem) a úsečka má dimenzi rovnu jedné, neboť ji lze popsat vztahem y_t=y₀+kt, kde t je jediný parametr (nezávislá proměnná). Pozici každého bodu ležícího na úsečce lze vyjádřit výše uvedeným vztahem.

Z výše uvedeného vyplývá, že úsečka, přímka či jiná křivka (například parabola, sinusoida či Bézierova křivka) má dimenzi rovnu 1. To znamená, že je jednorozměrná, a tudíž poloha bodu je na ní definována pouze jedním číslem – souřadnicí v parametrickém prostoru. Například polohu bodu na sinusovce lze vyjádřit jako:

x=sin(t)

kde t je jediný parametr, který jednoznačně určuje polohu bodu na sinusovce (podobně jako v předchozí rovnici parametr t jednoznačně určoval hodnotu bodu na úsečce). Hodnota x potom přímo udává polohu tohoto bodu.

To, že má nějaká křivka dimenzi rovnu jedné, ještě nutně neznamená, že je zobrazována pouze v jednorozměrném prostoru. Dimenze udává jen počet parametrů, které jsou nutné pro jednoznačné definování bodu na křivce. Například následující křivka má dimenzi rovnu jedné, ale je zobrazována v trojrozměrném prostoru:

x=sin(t)*log(t)
y=cos²(t)
z=t

Jediným použitým parametrem je zde opět parametr t, poloha bodu je určena trojicí souřadnic x, y a z. Také můžeme uvažovat v tom smyslu, že pro křivky, které mají topologickou dimenzi rovnu jedné, je definována jejich délka (která může být i nekonečná), ale jejich plocha je nulová (jsou nekonečně tenké).

Jakákoliv hladká plocha (kruh, trojúhelník, n-úhelník) má dimenzi rovnu dvěma, to znamená, že poloha bodu musí být určena pomocí dvou parametrů. Například sedlová plocha je definována následovně:

x=u
y=v
z=uv

kde u a v jsou nezávislé parametry, které jednoznačně definují jakýkoliv bod na ploše, zatímco x, y a z jsou výsledné souřadnice bodu v prostoru pro dané u a v. Takto definované plochy mají určitý obsah, ale jejich objem je nulový, protože mají nulovou tloušťku.

Krychle, (vyplněná) koule, válec nebo celý běžný prostor kolem nás mají dimenzi rovnu třem, protože poloha jakéhokoli bodu je v nich jednoznačně určena třemi parametry.

Naznačeným způsobem je samozřejmě možné pokračovat dále, ale s dalšími dimenzemi nemáme osobní zkušenosti – v reálném světě za obvyklých podmínek prakticky neexistují. Z matematického hlediska však není velkým problémem definovat například čtyřrozměrnou kouli vzorcem:

x²+y²+z²+w²=r²

Přitom x, y, z a w jsou polohy bodu v jednotlivých souřadných osách.

Zde je funkce pro čtyřrozměrnou kouli zapsána implicitně, to znamená, že nejsou přímo vyjádřeny jednotlivé souřadnice, ale je pouze zapsána podmínka pro jejich vzájemný vztah. Poněkud specifickým případem je bod, který má dimenzi nulovou, poněvadž polohu bodu v něm samém není zapotřebí určovat žádným nezávislým parametrem. Ve všech předchozích případech jsme mluvili o dimenzi, která je specifikována celým číslem. Tato dimenze se nazývádimenze topologická.

Pro výše popisované funkce a tělesa, která můžeme označit jako „normální“ nebo „běžné“, platí, že všechny jejich parametry mohou být zadány v libovolné jednotce, aniž by se změnily vlastnosti tělesa. To znamená, že nezáleží na měřítku, se kterým se na těleso díváme.

V klasické fyzice jsou tyto zákonitosti využívány velmi často. Například při výpočtu proudu protékajícího elektrickým obvodem můžeme napětí udávat v kilovoltech, milivoltech nebo v jakékoliv jiné jednotce. To stejné platí při udávání ohmického odporu rezistoru.

3. Hausdorffova dimenze

Objekty popisované fraktální geometrií mají dimenzi neceločíselnou. Dimenzi fraktálních objektů nazýváme fraktální dimenzí či Hausdorffovou dimenzí. Hodnota této dimenze (resp. míra rozdílu mezi fraktální dimenzí a dimenzí topologickou) potom udává úroveň členitosti daného objektu.

Z předchozích podkapitol vyplývá závěr, že pro „běžné“ útvary vyskytující se v okolním světě si vystačíme s dimenzemi 0, 1, 2 nebo 3. Proto bylo poměrně velkým překvapením, když byly objeveny zvláštní geometrické útvary, pro které toto rozdělení na celočíselné dimenze není dostatečné. Některé tyto útvary nejsou jen abstraktní objekty vzniklé díky fantazii matematiků či umělců, ale mají své vzory přímo v okolní přírodě.

Měřením délky geometricky hladké křivky, která má topologickou dimenzi rovnu jedné, dostaneme při pohledu v různých měřítkách vždy stejné konečné číslo. Měřením délky břehu ostrova (což je opět křivka s topologickou dimenzí rovnou jedné) se při zmenšování měřítka toto číslo stává nekonečně velkým. Pobřeží tedy v rovině zabírá více místa než hladká křivka. Nezabírá však všechno místo (přesněji řečeno, nevyplňuje celou rovinu). Jeho skutečná dimenze je tedy větší než topologická dimenze křivky (ta je rovna jedné) a současně je menší než topologická dimenze roviny (ta je rovna dvěma). Z toho jasně vyplývá, že dimenze takového útvaru není celočíselná. Toto neceločíselné číslo se nazývá Hausdorffovou dimenzí.

Hodnota Hausdorffovy dimenze udává, s jakou rychlostí délka těchto útvarů (či odpovídající veličina při větším počtu rozměrů, tj. povrch v Euklidovském prostoru E² či objem v prostoru E³) roste do nekonečna. Jestliže se bude Hausdorffova dimenze a topologická dimenze lišit velmi málo, bude takový objekt málo členitý. Bude-li Hausdorffova dimenze ostře větší než dimenze topologická, bude objekt velmi členitý. Mezní hodnotou je případ, kdy je Hausdorffova dimenze o jedničku větší než dimenze topologická – tuto vlastnost má například hranice Mandelbrotovy množiny.

Hausdorffova dimenze se, zejména pro svou úzkou spojitost s fraktály, v některé literatuře nazývá též fraktální dimenze.

4. Fraktál

Rozdílu mezi topologickou dimenzí a Hausdorffovou dimenzí použijeme i při následující definici fraktálu. Tuto definici formuloval matematik Benoit B. Mandelbrot, o kterém se v dalším textu ještě několikrát při různých příležitostech zmíníme:

„fraktál je množina či geometrický útvar, jejíž Hausdorffova dimenze je (ostře) větší než dimenze topologická“.

Je nutné poznamenat, že ne všichni matematici se dnes plně ztotožňují s touto definicí; ve skutečnosti žádná matematicky přesná definice fraktálu (prozatím) neexistuje. Pro naše účely je však tato definice dostatečná. Zajímavé také je, že Hausdorffova dimenze byla známa poměrně dlouhou dobu před definováním pojmu fraktál, ale neměla žádné praktické využití.

5. Měření Hausdorffovy dimenze

V této podkapitole si ukážeme, jakým způsobem je možné spočítat Hausdorffovu dimenzi na některých jednoduchých útvarech, abychom si lépe objasnili rozdíl mezi topologickou dimenzí a dimenzí Hausdorffovou. Nejprve začneme dimenze vyjadřovat pro objekty známé z klasické Euklidovské geometrie, později si spočítáme Hausdorffovu dimenzi známé křivky Helge von Kocha.

5.1 Úsečka

Nejjednodušším netriviálním příkladem bude zřejmě úsečka. Vytvoříme úsečku, která má jednotkovou délku. Nyní tuto úsečku rozdělíme na N dílů. To odpovídá tomu, jako bychom se na úsečku podívali s N-násobným zvětšením. Měřítko nové úsečky se tedy vypočítá následujícím způsobem:

s=1/N

kde s značí měřítko a N je počet dílů, na které se těleso (v našem případě úsečka) rozdělí. Pro Hausdorffovu dimenzi obecně platí následující podmínka:

Ns^D=1

Z toho vyplývá, že Hausdorffova dimenze se pro dané dělení N a dané měřítko s vypočítá pomocí postupu:

Ns^D=1
log Ns^D=log 1
log N+log s^D=0
log N+D log s=0
D log s=-log N
D=(-log N)/log s
D=log N/log (1/s)

Po dosazení výše uvedeného vztahu s=1/N do vzorce D=log N/log (1/s) získáme výsledek:

D=log N/log (1/s)=log N/log N=1

Topologickou dimenzi úsečky samozřejmě známe z Euklidovské geometrie: je rovna jedné. Hausdorffovu dimenzi jsme nyní vypočítali a je také rovna jedné. Hausdorffova dimenze se tedy rovná dimenzi topologické. Z výše uvedené definice fraktálu tedy vyplývá, že úsečka není fraktál (pro fraktál musí být Hausdorffova dimenze ostře větší než dimenze topologická).

Obrázek 1: Rozdělení úsečky se změnou měřítka

5.2 Čtverec

Dalším typickým a současně velmi jednoduchým tvarem, jehož Hausdorffovu dimenzi budeme zkoumat, je čtverec. Zkonstruujeme čtverec, jehož hrany budou mít jednotkovou délku. Tento čtverec má plochu taktéž jednotkovou. Po dvojnásobném zjemnění čtverec vypadá tak, jako by měl čtyřnásobnou plochu. Měřítko se tedy musí změnit podle tohoto vztahu:

s=1/N^1/2

Hausdorffova dimenze čtverce se vypočítá dle vzorce:

D=log N/log (1/s)=logN/log N^1/2=1/(1/2)=2

Topologická dimenze čtverce je rovna dvěma, neboť se jedná o plošný útvar z Euklidovské geometrie. Hausdorffova dimenze čtverce je taktéž rovna dvěma, proto čtverec opět není, za použití předchozí definice, fraktálem.

Obrázek 2: Rozdělení čtverce se změnou měřítka

5.3 Krychle

Pro vyšší dimenze vypadá výpočet obdobně, například pro krychli vytvořenou v prostoru E³. S rozdělením krychle na díly se výsledné krychličky zmenší o třetí odmocninu z N. Měřítko se poté vypočítá ze vztahu:

s=1/N^1/3

Hausdorffovu dimenzi krychle je možné vyjádřit následovně:

D=log N/log (1/s)=logN/log N^1/3=1/(1/3)=3

Topologická dimenze krychle je rovna třem, neboť se jedná o útvar v prostoru E³. Hausdorffova dimenze krychle je taktéž rovna třem, krychle tedy, podobně jako úsečka a čtverec, také není fraktálem.

Obrázek 3: Rozdělení krychle se změnou měřítka

5.4 Křivka Helge von Kocha

Nyní zkusíme v našem experimentu pokračovat a vypočítat Hausdorffovu dimenzi útvaru, jehož zjemnění o jeden krok spočívá v tom, že se každá úsečka předchozího útvaru nahradí dvěma úsečkami se třetinovou délkou a rovnostranným trojúhelníkem sestrojeným uprostřed mezi dvěma novými úsečkami (viz následující obrázky). Tento objekt se nazývá podle svého objevitele vločka či křivka Helge von Kocha.

Obrázek 4: První iterace křivky Helge von Kocha

Obrázek 5: Druhá iterace křivky Helge von Kocha

Obrázek 6: Třetí iterace křivky Helge von Kocha

Obrázek 7: Čtvrtá iterace křivky Helge von Kocha

Obrázek 8: Pátá iterace křivky Helge von Kocha

Při trojnásobném zjemnění se délka křivky zvětší čtyřikrát, proto Hausdorffova dimenze není celé číslo. Pro N=4 se tedy měřítko musí zmenšit na třetinu:

s=1/3
N=4

Hausdorffova dimenze křivky Helge von Kocha se vypočítá jako:

D=log N/log (1/s)=log 4/log 3=1,2618595

Topologická dimenze této křivky je rovna jedné, Hausdorffova dimenze je však větší než jedna. Z toho vyplývá, že křivka Helge von Kocha je fraktálem.

Křivka Helge von Kocha má i další zajímavé matematické a geometrické vlastnosti. Mezi ně patří to, že sice je v celém svém rozsahu spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci. Každý bod na křivce je totiž po nekonečně mnoha transformacích průnikem dvou nekonečně malých úseček, které tvoří strany trojúhelníka, který je taktéž nekonečně malý. Tato křivka je také nekonečně dlouhá, i když zabírá konečný (z obou stran omezený) prostor, jak je ostatně patrné z obrázků.

Typickou vlastností fraktálů je, že se na ně nedají aplikovat běžné matematické poučky a vzorce. Na druhou stranu se některé výpočty mohou zjednodušit, například vyjadřování určitých vlastností dynamických systémů.

6. Hausdorffova dimenze vybraných přírodních útvarů

V následující tabulce je uveden odhad Hausdorffovy dimenze některých přírodních útvarů.

Ukázali jsme si jeden rozdíl mezi běžnými objekty a fraktálními objekty i způsob výpočtu topologické a Hausdorffovy dimenze. Byl kladen větší důraz na vysvětlení podstaty výpočtů než na matematicky přesných odvozeních. Obecně lze říci, že existují křivky, které zaplňují celou plochu; to znamená, že jejich topologická dimenze je rovna jedné a jejich Hausdorffova dimenze je rovna dvěma.

7. Obsah dalšího pokračování tohoto seriálu

V dalším pokračování tohoto seriálu si popíšeme pojmy soběpodobnost a atraktor. Také si popíšeme jednotlivé typy fraktálů, kterými se budeme v dalších částech podrobněji zabývat. Vzhledem k tomu, že v dalších dílech si již budeme ukazovat demonstrační příklady, je pro ně nutné zvolit vhodný programovací prostředek. Prosím tedy čtenáře o výběr jedné z nabízených možností prostřednictvím hlasovacího formuláře.