IMAP pokud vím oficiálně neumí push email. Některé implementace podporují IMAP IDLE, jiné Push-IMAP, další ani jedno. Když se vhodně sejde server, klient a počasí, můžete z toho vzniknout i push email. Jinými slovy připojení přes IMAP neimplikuje fungující push email.
U CalDAV a CardDAV o žádné obdobě push emailu nevím.