Seriál Fraktály v počítačové grafice

V závěrečné části seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice je uveden stručný obsah dílů 41 až 82. Kromě toho si ukážeme poslední sérii více než šedesáti v tomto seriálu doposud nepublikovaných obrázků s fraktály. Většina obrázků byla vytvořena, podobně jako v případě obrázků uvedených v minulé části, v programech FractInt a XaoS.

V předposlední části seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice je uveden stručný obsah prvních čtyřiceti dílů. Kromě toho si ukážeme další sérii více než čtyřiceti v tomto seriálu doposud nepublikovaných obrázků s fraktály. Většina obrázků byla vytvořena v programech FractInt a XaoS.

V následující části seriálu o fraktálech je uveden soupis literatury, ze které je možné čerpat další informace o fraktálech, chaosu, optimalizaci výpočtů, animaci fraktálů atd. Také jsou zde vypsány adresy zajímavých WWW stránek věnovaných fraktálům.

V další části seriálu o fraktálech si uvedeme některé oblasti mimo počítačovou grafiku, ve kterých můžeme nalézt objekty s fraktální strukturou. Uvidíme, že se s fraktály můžeme setkat nejenom v přírodě, ale i při studiu fyzikálních jevů, návrhu a optimalizaci parametrů antén, biologii, šifrování či komprimaci obrazu.

Dnes dokončíme "škatulkování" všech dříve popsaných typů fraktálních objektů. Popíšeme si stochastické fraktály (zejména fraktály vzniklé simulací difúze a plasmy), dále dvourozměrné i trojrozměrné L-systémy a Markus-Ljapunovovy fraktály. Nakonec si připomeneme význam Perlinovy šumové funkce.

Dnes budeme pokračovat v přehledu dříve popsaných typů fraktálů. Popíšeme si dynamické systémy generované v hyperkomplexním prostoru za použití kvaternionové či hyperkomplexní algebry, systémy iterovaných funkcí (IFS a L-IFS) a fraktály generované algoritmem Fractal Flames.

V dnešním článku bude uveden přehled typů fraktálů, které jsme si již popsali. Celkový počet popsaných typů je poměrně velký, takže celý přehled je rozdělen do dvou částí. Dnes budou popsány dynamické systémy vykreslované v ploše či trojrozměrném prostoru a dynamické systémy, jejichž mapy jsou vykreslovány v komplexní rovině.

V dnešním článku dokončíme popis naprogramování fraktálů pomocí krátkých aplikací napsaných v assembleru. Ukážeme si jednoduchý program pro vykreslení Juliovy množiny a také programy pro vytváření animací těchto množin. Dále si řekneme, ve kterých demech a intrech jsou fraktály použity a některá z těchto dem a inter si přiblížíme.

V dnešním díle seriálu si ukážeme způsob vykreslování Mandelbrotovy množiny pomocí krátkých programů napsaných v assembleru. Také si řekneme základní informace o optimalizaci assemblerovských programů, jak z hlediska rychlosti, tak i velikosti výsledného kódu.

V dnešním článku se budeme opět věnovat e-mailovým signaturám, ve kterých jsou zapsány krátké programy sloužící pro generování fraktálních obrazců. Zaměříme se na signatury napsané v Perlu, Pythonu, LISPu, Basicu a nakonec i jeden zajímavý program, který je napsaný pomocí maker známého textového editoru Vim.

V dnešním článku si ukážeme zajímavé programy pro tvorbu fraktálů, které jsou zkrácené a upravené do tvaru známých signatur, tj. několikařádkových prográmků používaných například jako součást podpisu u e-mailů. Uvidíme, že fraktální obrázky může sama generovat i obyčejná tiskárna vybavená PostScriptem.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech dokončíme téma "nefraktálů". Budeme se zabývat Perlinovou šumovou funkcí a jejím praktickým využitím, především při generování textur a hypertextur. Na demonstračních příkladech si ukážeme způsob vykreslení jednorozměrné a dvourozměrné Perlinovy šumové funkce.

Jedna z nejznámějších knížek pojednávajících o fraktálech se jmenuje "Fractals Everywhere". Tímto názvem nám autor, jímž není nikdo jiný než Michael Barnsley, naznačuje, že fraktální struktury můžeme vidět všude kolem sebe. Ukazuje se však, že ne všechny obrázky, které na první pohled vypadají "fraktálově", opravdu fraktály jsou.

V dnešním článku bude ukázán způsob vytváření takzvaných rozšířených Markus-Ljapunovových fraktálů, u kterých je možné aplikovat více funkcí růstu. Také si na příkladu předvedeme, jak je možné použít základní i rozšířené Markus-Ljapunovovy fraktály pro tvorbu trojrozměrných modelů terénu pomocí výškových polí.

Dnes si ukážeme tvorbu Markus-Ljapunovových fraktálů, pomocí kterých je možné vytvářet zajímavé obrázky použitelné například jako textury či výšková pole. Algoritmus pro výpočet těchto fraktálů je možné různě modifikovat; my si na příkladech ukážeme dvě rozdílné verze, na které později navážeme dalším rozšířením.

Dnešním pokračováním seriálu, ve kterém si popisujeme fraktály používané (převážně) v počítačové grafice, dokončíme popis programu Quat šířeného pod licencí GNU GPL, který je určen pro tvorbu obrázků čtyřrozměrných fraktálů počítaných s využitím kvaternionové algebry.

Dnešním pokračováním seriálu o fraktálech se již blížíme k dokončení poměrně rozsáhlé části věnované čtyřrozměrným fraktálům vytvářeným pomocí hyperkomplexní a kvaternionové algebry. Řekneme si, jakým způsobem se používá aplikace Quat, pomocí které se tyto fraktály dají vytvářet a interaktivně editovat.

V dnešním článku si ukážeme, jakým způsobem je možné vytvářet animace původně čtyřrozměrných Juliových množin za použití hyperkomplexní algebry. Uvidíme, že díky odlišné algebře použité pro výpočet budou mít výsledné animace zcela jiný charakter než animace využívající kvaternionovou algebru.

V dnešním článku si ukážeme, jakým způsobem je možné tvořit zajímavě vypadající animace čtyřrozměrných fraktálů ve známém raytraceru POV-Ray. Zaměříme se zejména na tvorbu animací vznikajících změnou iterační konstanty c, posunem ořezávacího trojrozměrného podprostoru a průběžnou změnou tohoto podprostoru.

V dnešním článku o fraktálech si řekneme, jakými metodami je možné vykreslit čtyřrozměrné Mandelbrotovy a Juliovy množiny. Posléze si ukážeme vytváření těchto fraktálů ve známém raytraceru POV-Ray, včetně tvorby zajímavě vypadajících animací vznikajících využitím čtvrtého (nevykreslovaného) rozměru jako času.

V dnešním pokračování seriálu si ukážeme, jakým způsobem vypočítat Mandelbrotovy a Juliovy množiny ležící ve čtyřrozměrném prostoru. Výpočty ve 4D prostoru budeme provádět buď pomocí minule vysvětlených kvaternionů nebo hyperkomplexních čísel. Dále si řekneme, jaké volně dostupné aplikace lze použít pro vykreslování čtyřrozměrných fraktálů.

V dnešním článku si uvedeme základní informace o tvorbě fraktálů ve čtyřrozměrném (4D) prostoru. Vysvětlíme si zejména význam hyperkomplexních čísel a kvaternionů. Ty hrají v počítačové grafice poměrně význačnou roli při vykreslování fraktálních útvarů a při zápisech lineárních transformací.

V dnešním článku dokončíme povídání o zajímavém a užitečném programu Lparser. Na pětici příkladů si ukážeme další způsoby tvorby animací přírodních i umělých objektů včetně průběžné změny úhlu natočení želvy při vytváření 3D modelu, změny celkového počtu iterací (přepisů axiomu) a kombinaci všech dříve popisovaných metod.

V dnešním článku si ukážeme pokročilejší způsoby modifikace vytvářených objektů. Bude se jednat o aplikaci gravitace, kterou je vhodné použít zejména na modely přírodních struktur (stromů, keřů, květin), a mutace, které mění zapisovaná pravidla a vnáší tak do L-systémů jistý prvek náhodnosti. Nakonec si ukážeme slibovanou tvorbu animací.

Dnešní část seriálu o fraktálech je věnována popisu tvorby trojrozměrných modelů přírodních těles pomocí L-systémů zpracovávaných programem Lparser. Ukážeme si tvorbu jak velmi jednoduchých trojrozměrných modelů (například binárních stromů), tak i složitých modelů reálných přírodních objektů.

V dnešní části seriálu pojednávajícího o fraktálech používaných nejenom v počítačové grafice se budeme zabývat použitím programu Lparser při tvorbě modelů zadaných pomocí přepisovacích gramatik. Ukážeme si způsob vykreslování takzvaných "větví" a "listů", použití rekurze, zásobníku a dalších prostředků, které Lparser nabízí.

Celá dnešní část seriálu o fraktálech je věnována popisu aplikace Lparser. Tento program slouží k tvorbě trojrozměrných modelů přírodních objektů i umělých artefaktů vytvářených pomocí L-systémů. Kromě běžných přepisovacích gramatik je možné použít i pokročilejší techniky, například takzvanou mutaci a simulaci gravitace.

V dnešním článku si nejprve ukážeme rozšíření přepisovacích gramatik dvourozměrných L-systémů o symboly "@", "C" a "|". Tyto symboly je možné použít například při tvorbě různých dlaždicovitých vzorů, které proslavil sir Roger Penrose. Dále se začneme zabývat pravděpodobně nejpraktičtějším využitím L-systémů.

V dnešní části seriálu dokončíme popis tvorby dvourozměrných L-systémů. Ukážeme si práci s takzvanými závorkovými L-systémy, které je možné použít pro vytváření rozvětvujících se struktur, tj. zejména stromů a keřů. Na závorkové L-systémy navážeme popisem jednoduchých stochastických L-systémů a také si řekneme, jak lze alespoň přibližně simulovat vliv gravitace.

Dnešní článek navazuje na ten předchozí, ve kterém jsme si ukázali implementaci jednoduchých L-systémů. Dnes si popíšeme paralelní přepisování řetězců v gramatikách a dopad této techniky na možné rozšíření počtu přepisovacích pravidel. Také si popíšeme Hilbertovu křivku, které má své nezastupitelné místo v mnoha oborech.

Dnešní část seriálu o fraktálech je opět věnována L-systémům. Dnes si ukážeme, jak je možné L-systémy programově vytvářet za pomocí přepisovacích gramatik a želví grafiky (turtle graphics). V demonstračních příkladech vytvoříme známou křivku Helge von Kocha a sněhovou vločku téhož matematika.

Dnes se budeme věnovat popisu L-systémů, což je velmi významná skupina fraktálů, které se ve své nejjednodušší podobě vytvářejí pomocí upravených přepisovacích gramatik. L-systémy jsou velmi často používány například pro tvorbu plošných i trojrozměrných modelů stromů, keřů, travin a dalších přírodních útvarů.

V dnešním pokračování seriálu navážeme na minule probíranou problematiku výběru stupňů detailů (LOD) a ukážeme si, jakým způsobem je možné volit různé úrovně detailů při vykreslování trojrozměrných modelů terénu. Také se zmíníme o výpočtu normálových vektorů jednotlivých trojúhelníků resp. normálových vektorů jejich vrcholů (vertexů).

V jubilejním padesátém pokračování seriálu si vysvětlíme dvě metody pro vykreslování výškových polí. Jedná se o metodu založenou na sloupcově orientovaném vrhání paprsku a převod výškových polí na pravidelnou i nepravidelnou polygonální síť. Také si nastíníme problém urychlení vykreslování výškových polí.

V dnešním článku o fraktálech si ukážeme, jakým způsobem se prakticky vytváří a zobrazují modely krajiny pomocí obrázků plasmy, a to jak plasmy generované metodou náhodného přesouvání prostředního bodu, tak i plasmy vytvořené spektrální syntézou. Začneme výkladem tradičních metod a skončíme u postupů založených na vykreslování polygonů.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech si ukážeme, jakým způsobem je možné provádět animaci plasmy. Tento zajímavý efekt byl v minulosti použitý v nepřeberném množství počítačových dem. Dále si ukážeme poslední způsob vytváření plasmy a tím i fraktálních povrchů terénu pomocí spektrální syntézy.

V dnešním pokračování seriálu, ve kterém popisujeme fraktály, si ukážeme další možnosti tvorby krajiny (terénu) pomocí dvourozměrných obrázků plasmy. Kromě vysvětlení jedné zajímavé alternativní metody výpočtu plasmy si ukážeme tvorbu barevné plasmy s využitím palety i plnobarevného (truecolor) režimu.

V dnešním pokračování seriálu se zaměříme na další v praxi často používaný typ stochastických fraktálů. Jedná se o fraktální objekty vytvářené pomocí metody přesouvání prostředního modu (Midpoint Displacement Method), které je možné použít například pro generování realisticky vypadajících modelů krajiny či modelů mraků.

V dnešním pokračování seriálu, ve kterém popisujeme fraktály používané (nejenom) v počítačové grafice, ukončíme poměrně rozsáhlou část věnovanou různým způsobům simulace fyzikálního jevu difúze. Popíšeme si, jakým způsobem se vytvářejí obrazce takzvané "všesměrové difúze", které znají například odborníci z oborů chemie či fyziky.

V dnešním pokračování seriálu, ve kterém popisujeme fraktály používané (nejenom) v počítačové grafice, si ukážeme dva významné způsoby modifikace původního postupu používaného pro simulaci difúze. Od poměrně nevýrazných obrázků prezentovaných v předchozí části se tak co nejvíce přiblížíme k reálným (přírodním) útvarům.

V dnešní části seriálu pojednávajícího o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si povíme, jakým způsobem je možné minule popisovanou a demonstrovanou metodu simulace difúze upravit takovým způsobem, aby se pomocí ní daly vytvářet realisticky vypadající plošné či prostorové modely travin a keřů.

V dnešní části seriálu si popíšeme metodu pro simulaci difúze, která je založená na heuristice. Také si popíšeme některé způsoby urychlení celé simulace a její následné využití pro vytváření plošných i trojrozměrných modelů travin a keřů. Všechny popisované postupy budou samozřejmě implementované v demonstračních příkladech.

V dnešní části seriálu se začneme zaobírat poměrně velkou a námi prozatím opomíjenou skupinou fraktálů. Jedná se o stochastické fraktály, při jejichž vytváření hraje nezanedbatelnou úlohu náhoda. Jelikož mají tyto fraktály v počítačové grafice své nezastupitelné místo, budeme se jimi zabývat i v několika následujících částech tohoto seriálu.

Dnes dokončíme rozsáhlou část věnovanou systémům iterovaných funkcí a některým jejich modifikacím. Ukážeme si, jak je možné vytvářet modely těles pomocí upravených systémů iterovaných funkcí IFS. První příklad ukáže interaktivní vykreslování trojrozměrných modelů IFS, druhý předvede vytváření scény určené pro raytracer POV-Ray.

V dnešní části seriálu dokončíme část věnovanou algoritmu Fractal Flame. Vysvětlíme si postup použitý při implementaci některých algoritmů navržených Scottem Dravesem a posléze implementovaných dalšími autory v několika programech jako QS Flame, GFlare, Apophysis či Kai's FraxFlame z balíku Kai's Power Tools 5.

Dnes se budeme věnovat popisu velmi zajímavé skupiny fraktálů. Jedná se o fraktální typ nazvaný Scottem Dravesem "Fractal Flames". Tato skupina fraktálů úzce souvisí s dříve popisovanými systémy iterovaných funkcí (IFS) - ve skutečnosti se jedná o několikerou generalizaci těchto systémů.

Dnešní článek o fraktálech navazuje na díly, ve kterých jsme se zabývali tvorbou systémů iterovaných funkcí IFS. Dnes si řekneme, jakým způsobem je možné provádět plynulou změnu tvaru (morfing) mezi několika IFS systémy. Zde popsaný princip byl použit v mnoha demech a také v několika profesionálních animacích.

Dnes navážeme na předchozí díl, ve kterém jsme si stručně popsali teorii linearizovaných systémů iterovaných funkcí. Dnes si ukážeme, jakým způsobem je možné v těchto systémech použít matici posloupnosti transformací a jak tato matice ovlivní tvar výsledného objektu či plošného obrazce.

V dnešním pokračování seriálu budou popsány takzvané linearizované systémy iterovaných funkcí (L-IFS), jejichž aplikací je možné generovat dvoudimenzionální i třídimenzionální obrazce, které vykazují základní fraktální charakteristiky. Vytvářené obrazce se přitom do značné míry liší od obrazců vzniklých aplikací "klasických" IFS systémů.

V dalším pokračování seriálu o fraktálech jsou popsány poslední dva algoritmy určené pro vytváření IFS koláží. Jedná se o modifikovaný algoritmus náhodné procházky (M-RWA) a dále o pravděpodobně doposud nejrychlejší a nejpropracovanější algoritmus pro vykreslování IFS - algoritmus generování minima pixelů (MPA).

V dnešní části seriálu o fraktálech bude provedeno zhodnocení jednotlivých metod výpočtu pravděpodobností transformací v systémech iterovaných funkcí. Posléze si podrobně popíšeme další algoritmy, pomocí nichž je možné generovat obrázky IFS systémů - algoritmus náhodné procházky RWA a deterministický algoritmus DIA.

V další části seriálu o fraktálech využívaných (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme několik způsobů, pomocí nichž je možné vypočítat pravděpodobnosti jednotlivých transformací v systémech iterovaných funkcí. Korektně nastavené a použité pravděpodobnosti transformací mohou výrazně urychlit vykreslení IFS systému.

V dnešním díle budeme pokračovat v popisu systémů iterovaných funkcí. Ukážeme si způsob vytvoření základního obrazce spolu s pokrytím tohoto obrazce jeho menšími kopiemi. Pak si popíšeme nejjednodušší algoritmus určený pro vykreslování IFS systémů. Jedná se o algoritmus náhodné procházky, někdy také nazývaný chaotická hra.

Od jubilejního třicátého pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice se začneme zabývat takzvanými systémy iterovaných funkcí (IFS), které je možné použít pro vytváření procedurálních modelů těles s fraktální charakteristikou, zejména soběpodobností a invariancí ke změně měřítka.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice dokončíme poměrně objemnou část celé série, ve které jsme se zabývali fraktálními množinami vytvářenými v komplexní rovině. Rozebereme si další dosud nepopsané možnosti, jakými je možné urychlit výpočet bodů ležících vně či uvnitř těchto fraktálních množin. Také si ukážeme některé pokročilejší vykreslovací techniky, pomocí nichž je možné významně zkrátit výpočty animací "průletu" fraktálními množinami.

Ve dvacáté osmé části seriálu, který je věnován popisu fraktálů používaných (nejenom) v počítačové grafice, si vysvětlíme princip vytvoření velmi zajímavé fraktální množiny počítané v komplexní rovině. Jedná se o fraktál nazývaný Phoenix, který existuje jak v Mandelbrotově, tak i Juliově variantě. Poutavé tvary, kterých nabývá Juliova varianta tohoto fraktálu, daly podnět k jeho pojmenování a mimo jiné také vedly k tomu, že je tento fraktál použit v mnoha aplikacích pro tvorbu fraktálních obrazců.

Sedmadvacátá část seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice je zaměřena na popis druhé (a poslední) varianty fraktálních množin typu Magnet. Popíšeme si jak Mandelbrotovu, tak i Juliovu verzi těchto fraktálních množin a jejich praktický výpočet a následné vykreslení si ukážeme na třech demonstračních příkladech.

Ve dvacáté šesté části seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme první typ fraktálních množin nazývaných souhrnně termínem Magnet. Název těchto fraktálů je odvozen z jejich fyzikálního významu.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice navážeme na díl předchozí, ve kterém jsme si popsali fraktální množiny Michaela Barnsleye počítané a následně zobrazované v komplexní rovině. Minule byly popsány "Mandelbrotovy varianty" těchto množin, dnešní část bude naopak věnována "variantám Juliovým", které jsou - alespoň z estetického hlediska - mnohem zajímavější.

V dnešním pokračování seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice se budeme zabývat dalšími typy rastrových obrázků s fraktální strukturou, které jsou počítány a vykreslovány v komplexní rovině. Bude se jednat o fraktály, jejichž iterační vztahy navrhl a implementoval vědec Michael Barnsley, který je mimo jiné známý i velmi důležitým objevem systémů iterovaných funkcí (IFS) a jejich praktickou aplikací při fraktální komprimaci obrázků.

V třiadvacátém pokračování seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice si ukážeme tvorbu modifikované fraktální množiny vzniklé aplikací Newtonovy iterační metody na polynom s komplexními kořeny. Uvedená modifikace spočívá v obarvení pixelů na základě počtu iterací. Dále si popíšeme Newtonovy fraktály odpovídající polynomům vyšších stupňů, použití neceločíselných mocnin a na závěr Newtonovy fraktály vytvořené pomocí polynomů s komplexními mocninami.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme další velmi zajímavý fraktál, který je možné vytvořit v komplexní rovině. Jedná se o takzvanou Newtonovu fraktální množinu, která vzniká barevným zvýrazněním obecných komplexních kořenů jednoduchých polynomů.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice bude vysvětlen princip vytváření Mandelbrotových a Juliových množin s libovolnou reálnou mocninou použitou v jejich iterační smyčce. Také si ukážeme zajímavé animace Mandelbrotovy a Juliovy množiny při průběžné změně mocniny.

V jubilejní dvacáté části seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme kubické Juliovy množiny a také Mandelbrotovy i Juliovy množiny, u kterých je použit iterační vztah se čtvrtou mocninou komplexní hodnoty Z.

V devatenáctém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice budou popsány Mandelbrotovy a Juliovy množiny používající ve svém iteračním vztahu vyšší mocniny hodnoty Z, než jaká se používá u "klasické" Mandelbrotovy množiny a Juliových množin.

V osmnáctém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si vysvětlíme vztah mezi Mandelbrotovou množinou a známou konstantou π. Také si řekneme, jaké číselné řady (kódované do geometrické podoby) je možné v Mandelbrotově množině nalézt.

V sedmnáctém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme tři způsoby, pomocí nichž je možné modifikovat výpočet a tím i výsledný tvar Mandelbrotovy množiny. Popisované způsoby budou použity i pro vytvoření trojice zajímavých animací.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice se budeme zabývat způsobem animace "průletu" Mandelbrotovou množinou a také takzvanou mapou Mandelbrotovy množiny spolu s názvy nejtypičtějších tvarů (oblastí), které je možné v této nekonečně členité množině nalézt.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice navážeme na předchozí díl, ve kterém byly popsány některé často používané techniky vybarvení vnitřních bodů Mandelbrotovy množiny. Dnes se naopak budeme zabývat různými způsoby vybarvování bodů, které leží vně tohoto velmi zajímavého fraktálního útvaru.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si řekneme, jaký existuje vztah mezi Mandelbrotovou množinou a Juliovými množinami. Relaci mezi těmito dvěma typy fraktálů si ukážeme i na demonstračním příkladě. Také si popíšeme některé vylepšené techniky vykreslování a obarvování Mandelbrotovy množiny.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si ukážeme několik demonstračních příkladů sloužících pro vykreslení známé Mandelbrotovy množiny. Také si řekneme, jakým způsobem je možné zobrazit detaily Mandelbrotovy množiny.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice si podrobně popíšeme historii, základní princip a postupy použité při vykreslování patrně nejznámějšího fraktálu v komplexní rovině - Mandelbrotovy množiny. V navazujících částech bude také popsán postup při vytváření zajímavých animací (průletu) obrázkem tohoto fraktálu.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si řekneme, do jakých kategorií (či typů) se Juliovy množiny dělí. Také si ukážeme způsob vykreslování Juliových množin na několika demonstračních příkladech.

V desátém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejen) v počítačové grafice se budeme zabývat velmi zajímavým tématem - zobrazováním map vybraných dynamických systémů v komplexní rovině. Mezi známé dynamické systémy, se kterými se v komplexní rovině pracuje, patří i Juliovy množiny a k nim příslušná Mandelbrotova množina, jejíž obrázek je všeobecně považován (spolu se slavnou Newellovou čajovou konvicí) za jeden ze symbolů počítačové grafiky.

V deváté části seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice se budeme zabývat dynamickými systémy, jejichž orbity nejsou vykreslovány v rovině, ale v třírozměrném prostoru. Mezi tyto systémy patří především známý Lorenzův a Rosslerův atraktor, jejichž výpočet a následné vykreslení si ukážeme na demonstračních příkladech.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice budeme pokračovat v popisu dynamických systémů, u nichž se provádí zobrazování jejich orbitů v rovině nebo třídimenzionálním prostoru. Popíšeme si tvorbu zajímavých obrazců pomocí zobecněného dynamického systému, zobrazení orbitů Mandelbrotovy množiny (takzvané Mandelbrotovo mračno) a zobrazení dynamického systému nazvaného Popcorn.

V sedmém pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice budou popsány další dynamické systémy, jejichž orbity tvoří zajímavé obrazce, a to jak v rovině, tak i v prostoru.

V šestém pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice si popíšeme nelineární dynamické systémy, u nichž se zobrazuje jejich "orbit" v dvojrozměrném či třírozměrném prostoru. Toto pokračování již bude zaměřené více prakticky, protože bude uvedeno množství algoritmů pro vykreslování orbitů spolu s jejich praktickou implementací v demonstračních příkladech.

V páté části seriálu pojednávajícího o fraktálech používaných v počítačové grafice si popíšeme dynamické systémy a jejich souvislost s fraktály a s fraktální geometrií. Velkou pozornost přitom budeme věnovat nelineárním dynamickým systémům, které mají zajímavé uplatnění i v technické praxi - nás ovšem bude zajímat zejména jejich grafické zobrazení.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech využívaných v počítačové grafice si podrobněji popíšeme jednotlivé typy (resp. kategorie) fraktálů.

Ve druhém pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice jsme si vysvětlili základní pojmy, které se vztahují k fraktální geometrii. Jedná se o topologickou a Hausdorffovu dimenzi. V dnešní části se budeme zabývat dalšími důležitými pojmy, zejména soběpodobností, atraktorem, stavovým prostorem, bifurkací a deterministickým chaosem. Také si ukážeme prototypy demonstračních příkladů.

Ve druhém pokračování seriálu o fraktálech využívaných (nejenom) v počítačové grafice si vysvětlíme pojmy topologické dimenze a Hausdorffovy dimenze. Také si ukážeme, jakým způsobem je možné Hausdorffovu dimenzi změřit pro "běžné" i fraktální objekty.

Dnešním dnem začíná na Root.cz nový seriál, ve kterém se budeme věnovat problematice fraktálů a fraktální geometrii spolu s jejich praktickou implementací, především v počítačové grafice a z ní vycházejících aplikací. S fraktály do jisté míry souvisí i teorie chaosu a chaotické systémy - i této problematice se budeme v pozdějších dílech věnovat.