To je zvláštní, že to ještě nikdo matematicky nedokázal. Chvilku mi tedy trvalo než jsem pochopil problém.
Ale když se nad tím zamyslím, tak každé druhé číslo je sudé, tedy počet dělení číslem 2 musí být minimálně každý druhý výpočet.
Dobře, vzoreček se pro lichá čísla upravil na (3n+1)/2 protože zákonitě musí být 3n+1 sudé, pokud je n liché, takže jako další krok by bylo dělení číslem 2.
V každém případě, pokud (3n+1)/2 povede k sudému číslu, tak jsme zákonitě na sestupné trajektorii k číslu 1. A to se dřív nebo později stane.
Lagarias and Weiss už v roce 1992 ukázali, že maximální hodnota, které může počáteční hodnota n dosáhnout je zhruba n^2. Výpočetní verifikace tohle potvrzuje. Podívejte se třeba na tu tabulku Path records a vezměme například počáteční hodnotu 1410123943, která dosáhne nejvyššího bodu ve své trajektorii 3562942561397226080, což je přibližně její druhá mocnina.
Ne, správně je n^2. Podívejte se do tabulky zde na číslo 27. Trajektorie vystoupala o něco výše než n^2, ale u ostatních rekordů je naopak o něco níže. Tedy zhruba n^2.
Tady je vysvetleni toho problemu pro lidi:
The Simplest Math Problem No One Can Solve - Collatz Conjecture
https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg
Kdysi jsem na tento problém narazil a trochu se mu věnoval. Postupné zkoušení čísel je výpočetně náročné a už to zkusili jiní. Tak jsem na to šel jinak. Velmi zjednodušeně: předpokládám, že existuje číslo, pro které doměnka neplatí, tedy existuje smyčka. To je vlastně nějaký počet násobení třemi (a přičtení jedničky) a dělení dvěma v nějakém pořadí. A měl bych se vrátit k původnímu číslu. Takže hledám, kdy se se k sobě přiblíží nějaká mocnina 3 a mocnina 2. Hranice jsou dané případem, kdy nejprve násobím a pak dělím a případem opačným. Výraznější přiblížení nastane až u 2^301994 a 3^190537, shoduje se 7 desítkových číslic. To ale nestačí, výchozí číslo by v tom případě muselo být příliš malé a ta už byla vyzkoušena. Další je až někde u 2^85137581 a 3^53715833. Tak příliš malá shoda. No prostě závěrem: Pokud smyčka existuje, tak její délka bude minimálně deset milionů kroků. (Což ovšem neznamená, že nemůže začínat už v relativně malých číslech)
Ano pokud najdu číslo pro které to neplatí, tak vyvrátím hypotézu a nemusím hledat důkaz.
Nedomnívám se, že spousty dat dokážu teoreticky přispět k důkazu.
Důkaz musí platit pro jakékoliv číslo...
A konkrétně k Collatzově doměnce, její potencionální užití mimo teoretické hraní? To pak můžu stále zkoušet na kovadlině tlouci do olova jestli náhodou nevyrobím atom zlata :-)
V praktickém světě, by se daná hypotéza považovala za fakt na základě empirického ověření, dokud by někdo neprokázal opak. Pak by se sice vše založené na tomto problému zhroutilo, ale stále otázka je to k něčemu? Už to řešíme od roku 1937 a stále jsme u hrubé síly.
Nedavno se podarilo jednomu z nejlepsich soucasnych matematiku (Terrence Tao) dokazat, ze "temer vsechna" N doiteruji "temer k 1".
Jedno je jiste, dukaz bude mnohem slozitejsi a vyuzivat novou matematiku. Bude to asi podobne jako s Fermatovou vetou, kde dukaz vyzadoval postupy z 2. poloviny 20 stoleti (elipticke rovnice, L-funkce, modularni formy). A vlastne slo o dukaz Tanijama-Simurovy domnenky z 50. let, ktera implikovala Fermatovu vetu.
Vice zde:
https://www.quantamagazine.org/mathematician-proves-huge-result-on-dangerous-problem-20191211/
https://arxiv.org/abs/1909.03562 (pro matematiky)