Mozna byste mohl uvest dukaz Vaseho tvrzeni, ze ostrov ma nekonecnou delku pobrezi. Podle meho nazoru je to od Vas jenom vystrel do tmy a trochu nepochopeni problematiky.
Že nepřekvapuje? Ale jistěže překvapuje. Stejně jako mě překvapuje, že rychlosti blízké rychlosti světla se neskládají prostým sčítáním, že může existovat nekonečně dlouhá křivka, která ohraničuje konečnou oblast, nebo třeba že jednu kouli lze rozebrat do pěti dílů a ty pouhým přeskládáním složit do dvou koulí stejného objemu. Pokud by na myšlence fraktálů nebylo nic nového a překvapivého, nebyla by to nová myšlenka.
Měl by sis ten odkazovaný článek přečíst dál než na konec první věty. ;-) U koule stačí pět kusů (původní důkaz mluvil o šesti, Robinson to později snížil na pět a dokázal, že jde o minimum), obecnější verze o konečném počtu částí platí pro libovolnou podmnožinu E3 splňující jisté podmínky.
Problem bude asi v tom, ze toto vsechno jsou pouze matematicke hratky, ktere bohuzel v praxi nefunguji. Proto si myslim, ze neexistuje realne pobrezi, ktere by melo nekonecnou delku, a to je to, v cem s autorem clanku nesouhlasim.
Ano, teoreticky je to velmi pekne, v praxi se ale pri mereni dostaneme na velikost atomu a dal uz to jaksi nejde... Proto tedy realne mereni nebude konvergovat k nekonecnu, ale k nejake konecne (i kdyz velike) hodnote.
Konvergence a divergence jsou poměrně přesně definovány v terminologii matematické analýzy. Mimo tento obor nemá příliš smysl o těchto pojmech polemizovat. Pokud přesto dáváte přednost původním významům těchto slov z jejich sémantického hlediska, tak bych doporučil zjistit si, co vlatně ta slova znamenají :-)
Ovsem presto lze rici, ze k nekonecnu lze konvergovat. U zobecnenych prostoru (u komplexni roviny je to pomerne ciste) se pridava bod nekonecno a lze k nemu konvergovat (v komplexni analyze se jedna o k nasobne poly). Divergence potom zjevne znamena, ze se funkce rozklada na nejake silene zmatky (pro komplexni funkce se to myslim jmenuje podstatna singularita), prip. osciluje...
No, ale je taky mozne, ze placam trochu nepresnosti, nebot komplexku uz jsem mel davno a stacil jsem spoustu zapomenout.
A pak zjistíš že existují nějaké elektrony a protony, kvarky a škvarky.. ;-) Celá fyzika se zakládá na tom, že se něco zanedbává a přehlíží, jinak by se nikdy věda nehnula z místa. Neznamená to však, že se to nebere v potaz. Dříve nebo později tyhle opomíjené věci položí základ k novému vědeckému paradigmatu. A tak to jde stále dokola.
Klid ... uz na urovni atomu se ti blbe meri pri teplote vyssi nez absolutni nula. Merit na urovni elektronu a protonu je naprosty nesmysl, protoze elektrony a protony nejsou male kulicky, ale napul vlny a napul castice - tedy jejich povrch neni fraktalovity, protoze neni vubec - a navrch nemuzes zaroven vedet kde jsou a jak rychle se pohybuji ... nemluve o tom, ze i kdyby to male kulicky byly, to volne misto mezi nimy uz musis merit primo a zadne fraktalovateni se ti na nem neobjevi.
Nebojte, ono to selze mnohem drive nez u velikosti atomu. Definujte mi prosim "pobrezi" s presnosti na milimetr sirky. Ne, oprava, s presnosti na deset centrimetru. Hm?
Ono je skoro jedno, jak se to pobrezi pro potreby mereni definuje. Dejme tomu, ze to muze byt hranice vznikla prumetem hmoty ostrova s rovinou z=0 (pokud povazujeme Zemi za placku) nebo prumetem hmoty ostrova s plochou koule o polomeru 6373 km.
Tady dokonce nejde ani o to, ze se meri zrovna pobrezi (taky hladina kolisa, nepocitaje v to vlny), muze to byt treba cesta mezi dvema libovolnymi body na zemi. Pobrezi ostrova jsem zminil hlavne z historickych duvodu - prave na nem Richardson objevil tuto "anomalii" a Mandelbrot o tom mnohem pozdeji napsal dosti podstatny clanek, kde vysvetlil roli exponentu ve zminenem vzorecku.
Tohle je ve skutecnosti pouze dukaz toho, ze existuje injektivni zobrazeni prirozenych cisel na realna cisla v intervalu 0,1 - 0,2. To by postacilo jako dukaz toho, ze mnozina vsech realnych cisel je alespon tak mohutna, jako mnozina prirozenych cisel. Nic vic. Pro dukaz toho, ze mnozina realnych cisel je mohutnejsi (je jich nespocitatelne mnoho), nez mnozina prirozenych cisel, lze pouzit napr. Cantror's diagonal argument, my jsme ve skole pouzivali Dedekindovsky rez, ale uz je to nejaky ten patek...
Dukaz lze provest ruzne (napriklad tou indukci se zmenou delky meritka), ale uz z toho faktu, ze Hausdorffova dimenze pobrezi neni celociselna to neprimo vyplyva.
Samozrejme je mozne argumentovat tim, ze se pri mereni zastavime na nejakem fyzikalnim limitu (napriklad na velikosti molekul, atomu, kvarku atd.), ale jde opravdu o fyzikalni limit, nebo jsme jenom pri studiu hmoty nepokrocili dale?
ps: pokud existuje dukaz, ze prostor je diskretni (je kvantovan), tak by to s tou nekonecnou delkou nemuselo platit.
Problem je podle me v tom, ze pobrezi nemuzete nekonecne zvetsovat jako fraktal, takze se jednou zastavite na konecnem meritku a z toho podle me plyne i konecna delka.
No, kdyz me nedokonalost pristroju zarazi na nejakem meritku, tak to vlastne pouze znamena, ze za par let teoretickych vyzkumu muzu byt jeste o neco dale. Ano, dnes se praticky neda merit pod subatomarni struktury, na tom tvrzeni o nekonecne delce to nic nemeni.
To je trosku jako rikat, ze konstanta PI ma pouze nejakych 150 milionu cislic, protoze vic jsme zatim nespocitali (dnes je to mozna vic, nevim, ale urcite je to konecne cislo). Ve skutecnosti je jeji rozvoj nekonecny, s tim asi nebudeme polemizovat.
Co se tyce dokonalosti/nedokonalosti pristroju mate samozrejme pravdu, ja jsem chtel jenom poukazat na fakt, ze pobrezi neobsahuje v sobe samo sebe. Doufam, ze se nepletu, ale pokud zvetsujete fraktal, tak dostavate opet tu samou mnozinu, coz je asi ten zasadni rozdil mezi pobrezim a fraktalem. Proto ma fraktal nekonecnou delku a pobrezi ji nema.
Ano, mate pravdu v tom, ze velka cast fraktalu prezentovanych graficky je opravdu sobepodobna. Sobepodobnost je jednou z vlastnosti, ktere tyto fraktaly charakterizuje. Tyto fraktaly se take nekdy nazyvaji deterministicke (paradoxne vsak mohou byt vytvoreny pomoci stochastickych algoritmu, viz napriklad algoritmus nahodne prochazky u IFS :-).
Krome toho vsak jsou, zejmena v okolni prirode, fraktaly stochasticke (nahodne). Prikladem muze byt napriklad strom (vetveni), ono problematicke pobrezi ;-), mraky atd. Z chemie je znama predevsim difuze. Tady uz se princip sobepodobnosti nekdy neda najit, nebo je velmi vzdaleny tem pekne graficky vyvedenym "klasickym fraktalum".
>Priestor sa da delit do nekonecna...
Ses si tím tak jist? Podle teorie superstrun může mít svinutý rozměr průměr (i když o průměru v pravém slova smyslu nejde, protože struny sami o sobě tvoří prostor takže nic menšího než nejmenší dílek prostoru nelze měřit) minimálně Planckovu délku (10e-37 metru). Při dalším pokusu o zmenšování se začne zvětšovat. Podobně kvantovaný může být i čas.
Obavam se, ze zde prave z pohledu matematika narazite na fundementalni fyzikalni omezeni. Mereni "subatomarnich vzdalenosti" je principialni problem; prostor jako takovy muzete definovat jen pomoci hmoty (jedna z premis Einsteinovy relativity) a v "dostatecne malem" subatomarnim prostoru proste hmotu nemate jak pojmout. Navic k tomu narazite na problem, ze "moc blizko" k hmotne castici - pokud tedy predpokladate, ze se lze libovolne blizko priblizovat - se kvuli gravitacnimu pusobeni casoprostor meni.
Uvadim analogii - podle slavneho Heisenbergova vztahu nemuzete urcit rychlost uplne presne a neni to "prakticke omezeni", jehoz se zbavim "teoretickym vyzkumem". Ledaze by ten teoreticky vyzkum dokazal, ze kvantova teorie je fundamentalne spatna, a to nevypada pravdepodobne.
Heisenberguv princip neurcitosti beru a chapu (pekne to bylo vysvetleno v knizce Strucna historie casu, z fyzikalnich skript jsem to moc nepochopil :-) Prave z ni by nejak mohlo vyplynout to, zda je prostor diskretni ci spojity (ale potom by nastaly problemy, jak diskretni, protoze zadny smer prece neni mozne uprednostnit).
Jen nevim, zda je mozne aplikovat Einsteinovu teorii relativity i na tak male vzdalenosti a gravitace. Tady prece zacina platit kvantova teorie, relativita se naopak projevuje na druhe strane meritka: obrovske energie, vzdalenosti, gravitace. (Z toho mi mimo jine plyne, ze ani jedna z teorii neni spravna, jde o jakousi aproximaci pro nejake podminky, stejne jako Newtonovska fyzika).
Kvantovou teorii gravitace NEMAME. Gravitaci tedy muzeme pocitat pouze relativisticky (nebo hure). Kvantova fyzika plati i pro obrovske energie a vzdalenosti - ale nema smysl s ni pocitat, protoze takovy vypocet by byl nechutne slozity a pritom lze kvantove jevy zanedbat.
Odpoved na otazku, zda v kvantove fyzice je mozne definovat prostor i jinak nez pomoci hmoty neznam. IMHO souvisi s kvantovou teorii gravitace a tedy ji nezna nikdo.
V kazdem pripade ale myslim, ze fraktaly prestanou "fungovat" na fyzikalni objekty okolo plankovy delky, protoze prostor se v techto rozmerech nechova euklidovsky a hranice, kterou merime, se nechova jako geometricka hranice.
Asi jsem se nepresne vyjadril. Ano, kvantova fyzika funguje i pri velkych vzdalenostech a energiich, ale neni pomoci ni mozne jevy, ke kterym zde dochazi, vysvetlit. To zase umoznuje univerzalni teorie relativity, ktera naopak nevysvetluje "kvantove" jevy. Stejne je to s Newtonovskou fyzikou (resp. s jejim rozsirenim na elmag. pole a Maxwellovy rovnice). Tudiz ani jedna z techto teorii neni uplna a pravdiva, jedna se o pouhe aproximace :-(
Uvidime, kdo a kdy kvantovou teorii gravitace (predtim se tomu rikalo nejak jako universalni teorie) odvodi, pred par lety neco predpovidal Hawking, ale uz tuto oblast nejak nesleduji (treba superstruny jsem nejak nepochopil).
Prostor je dost slozity pojem, nam by pro mereni stacila vzdalenost. Ta by snad mohla odpovidat energii, resp. periode kmitu castic s nulovou hmotnosti (fotony a mozna i dalsi) o co nejmensi energii. Ale to jsou pouze moje laicke dohady.
Rozdil je v tom, ze kvantova fyzika a teorie relativity nejsou ve sporu. Kvantova fyzika a newtonovska fyzika ano, stejne jako relativisticka a newtonovska. Proto je newtonovska fyzika aproximace, zatimco kvantova a relativisticka fyzika jsou dve casti rekneme moderni fyziky.
To neni totez, i kdyz je to dost podobne. Kvantova teorie gravitace je teorie tykajici se pouze gravitace, zatimco univerzalni teorie se tyka vseho. Podobnost je v tom, ze az budeme mit kvantovou teorii gravitace, muzeme univerzalni teorii poskladat z ni a toho co uz mame, a naopak z univerzalni teorie lze vytahnout tu kvantovou teorii gravitace tim, ze ji aplikujes na gravitaci (pokud ta univerzalni teorie bude kvantova).
delka pobrezi zavisi na mire meritka.
kdyz budu delku merit kilometrovou tyckou, tak dostanu nejakou delku.
kdyz ji budu merit milimetrovym meritkem budu schopen sledovat vetsi
detaily a skutecne zmerim o mnoho vetsi hodnotu.
a takto az ad nauseam. je to tim, ze tvar pobrezi je fraktalovy.
delka udavana v mapach je nejaka delka rozumne nefraktalove krivky (hladka brambora),
kterou se pobrezi prolozi.
skus si tu stat precitat este raz. cele tvrdenie je len vysledok pozorovania ze cim pouzijes mensi dielik (presnost) tym viac rastie dlzka a pokial bide dielik (matematike sa to vola epsilon) blizky nule tak vysledok bude blizky nekonecnu (nie nekonecny)
nieco v zmysle: ak sa epsilon (pomerna jednotka v clanu je to tyc ktorou meraju obvod) blizi 0 (nekonecna presnost) limita obvodu ostrova je nekonecno (ta limina hovori ze to niejej nekonecno ale blizke nekonecnu)
pri dostatocnej presnosti sa do dlzky zapocitavaju i vyskove rozdiely, male objeky, drsnost ich povrchu ......
jednoduchy jednoducha korunka aku robime deckam na maskarny. ked odmeriam obvod vrchnej hrany (tej kde su "zuby") meradlom ktore tie zuby neakceptuje tak nam vyde obvod rovny O1=2*PI*r pokial budes merat niecim co vie merat i tak male dielky ako su hrany zubov prides na obvod (O2) ktory je vecsi ako O1 ........