Obsah
1. Princip tvorby fraktálů navržených Michaelem Barnsleym v komplexní rovině
2. Fraktál pojmenovaný Barnsley M1
3. Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M1
4. Fraktál pojmenovaný Barnsley M2
5. Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M2
6. Fraktál pojmenovaný Barnsley M3
7. Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M3
8. Obsah dalšího pokračování tohoto seriálu
1. Princip tvorby fraktálů navržených Michaelem Barnsleym v komplexní rovině
Michael Barnsley je vědec, který se mimo jiné poměrně intenzívně zajímá o využití fraktálů a fraktální geometrie v praxi. Ve světě jsou proslulé především „jeho“ systémy iterovaných funkcí (IFS), kterými se v tomto seriálu samozřejmě také budeme zabývat. Kromě přímé aplikace generativní metody používající IFS systémy pro tvorbu fraktálních obrazců (koláží) je možné IFS použít v takzvané inverzní úloze – k nalezení soustavy jednoduchých lineárních funkcí (resp. lineárních transformací) popisujících nějaký rastrový obrázek. To je základní princip (obecně ztrátové) fraktální komprimace obrazů, kterou má Michael Barnsley a jeho spolupracovníci patentovanou. Patenty na tuto technologii však měly na praktické využití fraktální komprimace obrazů negativní dopad, místo ní se masivně začaly aplikovat jiné technologie využívající ztrátovou komprimaci, zejména diskrétní kosinová transformace (DCT – discrete cosinus transformation) a později také vlnková transformace (WT – wavelet transformation). Je to škoda, protože fraktální komprimace obrazů v některých případech (například pro fotky většiny přírodních objektů) nabízí lepší poměr kvalita obrazu/objem dat než DCT a WT.
V dnešní části seriálu se však ještě systémy iterovaných funkcí zabývat nebudeme. Místo toho si ukážeme tři typy fraktálních obrazců vytvářených v komplexní rovině. Tyto fraktály Barnsley popsal ve své známé knize Fractals Everywhere. Konkrétně se jedná o tři modifikace Mandelbrotových množin a k nim příslušející trojici Juliových množin. Modifikace spočívá v náhradě původního iteračního vztahu zn+1=zn2+c vztahem složitějším, ve kterém se navíc vyskytuje podmínka. Tím se původní zaoblený („organický“) tvar Mandelbrotovy množiny a Juliových množin změní takřka k nepoznání, výsledné obrazce spíše připomínají krystalické struktury. K označení všech šesti fraktálů jsem zvolil jména použitá mj. i v programu FractInt. Modifikované Mandelbrotovy množiny se nazývají M1, M2 a M3, k nim příslušející Juliovy množiny mají název J1, J2 a J3. V dnešní části seriálu budou popsány „Mandelbrotovy“ verze Barnsleyových fraktálů, příště si popíšeme „Juliovy“ verze.
2. Fraktál pojmenovaný Barnsley M1
První Mandelbrotova varianta Barnsleyovy fraktální množiny, kterou zde nazývám jednoduše M1, používá iterační vztah, ve kterém se vyskytuje podmínka (test) na aktuální hodnotu reálné složky komplexního čísla zn. Pro jednoduchost tento vztah nejprve zapíšu v pseudokódu, ve kterém nabývají proměnné z a c komplexních hodnot, přímý přepis do programovacího jazyka C je tedy poněkud složitější, neboť se musí provést rozpis všech komplexních proměnných na jejich reálnou a imaginární složku. Iterační vztah pro Barnsleyovu variantu Mandelbrotovy množiny M1 má následující podobu:
if (real(z) >= 0)
z(n+1)=(z-1)*c
else
z(n+1)=(z+1)*c Po rozpisu iteračního vztahu na reálnou a imaginární složku proměnných z a c již dostáváme validní a použitelný céčkovský kód:
zx2=zx*zx;
zy2=zy*zy;
if (zx2+zy2>4) break; // test na ukončení iterační smyčky
if (zx>=0) { // test na znaménko reálné složky Z
zxn=zx*cx0-zy*cy0-cx0;
zyn=zx*cy0+zy*cx0-cy0;
}
else {
zxn=zx*cx0-zy*cy0+cx0;
zyn=zx*cy0+zy*cx0+cy0;
}
zx=zxn; // přepis nových hodnot do proměnné Z
zy=zyn; Všimněte si, že test na ukončení iterační smyčky zůstal stejný, jako v původní verzi Mandelbrotovy množiny. Céčkovská funkce, která s využitím výše uvedeného fragmentu kódu provádí přepočet a následné vykreslení Mandelbrotovy verze Barnsleyovy fraktální množiny M1, vypadá následovně:
//-----------------------------------------------------------------------------
// Překreslení Barnsleyovy fraktální množiny M1
//-----------------------------------------------------------------------------
void recalcBarnsleyM1(pixmap *pix, // pixmapa pro vykreslování
int maxiter, // maximální počet iterací
double scale, // měřítko obrazce
double xpos, // posun obrazce
double ypos,
int palette, // barvová paleta
int rf, int gf, int bf) // příznaky barvových složek
{
double zx, zy, zx2, zy2, zxn, zyn; // složky komplexní proměnné Z a Z^2
double cx0, cy0;
double xmin, ymin, xmax, ymax; // rohy vykreslovaného obrazce v komplexní
// rovině
int x, y; // počitadla sloupců a řádků v pixmapě
int iter; // počitadlo iterací
unsigned char r, g, b;
calcCorner(xpos, ypos, scale, &xmin, &ymin, &xmax, &ymax);
cy0=ymin;
for (y=0; y<pix->height; y++) { // pro všechny řádky v pixmapě
cx0=xmin;
for (x=0; x<pix->width; x++) { // pro všechny pixely na řádku
zx=0; // nastavit počáteční hodnotu Z(0)
zy=0;
for (iter=0; iter<maxiter; iter++) {// iterační smyčka
zx2=zx*zx; // zkrácený výpočet druhé mocniny složek Z
zy2=zy*zy;
if (zx2+zy2>4) break; // test na ukončení iterační smyčky
if (zx>=0) { // test na znaménko reálné složky Z
zxn=zx*cx0-zy*cy0-cx0; // kladné znaménko
zyn=zx*cy0+zy*cx0-cy0;
}
else {
zxn=zx*cx0-zy*cy0+cx0; // záporné znaménko
zyn=zx*cy0+zy*cx0+cy0;
}
zx=zxn; // přepis nových hodnot do proměnné Z
zy=zyn;
}
mapPalette(palette, iter, &r, &g, &b);
r=r*rf; // uživatelem řízené vynulování
g=g*gf; // vybraných barvových složek
b=b*bf;
putpixel(pix, x, y, r, g, b);
cx0+=(xmax-xmin)/pix->width; // posun na další bod na řádku
}
cy0+=(ymax-ymin)/pix->height; // posun na další řádek
}
} Na prvním a druhém obrázku jsou vidět vybrané detaily Barnsleyova fraktálu M1. Přídavná podmínka v probíhající iterační smyčce způsobuje, že se v obrázku objevují ostré hranice mezi barevnými plochami.
Obrázek 1: Detail Barnsleyova fraktálu M1
Obrázek 2: Jiný detail Barnsleyova fraktálu M1
3. Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M1
Céčkovská funkce uvedená ve druhé kapitole je použita v dnešním prvním demonstračním příkladu, pomocí kterého byl získán i třetí obrázek. Na první pohled vypadají Barnsleyovy fraktální množiny nezajímavě, avšak v následující části tohoto seriálu si ukážeme Juliovy verze Barnsleyových množin, které mají naopak velmi různorodé a elegantní tvary. Ovládání prvního demonstračního příkladu pomocí klávesnice je sepsáno v níže uvedené tabulce:
| Klávesa | Význam |
| , | snížení počtu iterací o jednotku |
| . | zvýšení počtu iterací o jednotku |
| < | snížení počtu iterací o deset jednotek |
| > | zvýšení počtu iterací o deset jednotek |
| S | uložení rastrového obrázku s fraktálem do externího souboru typu TGA |
| Q | ukončení tohoto demonstračního příkladu |
| Esc | má stejný význam jako klávesa Q – ukončení aplikace |
| šipky | posun obrazce ve směru šipek (o cca pět procent velikosti obrázku) |
| Page Up | změna měřítka (zvětšení výřezu o deset procent) |
| Page Down | změna měřítka (zmenšení výřezu o deset procent) |
| 0 | nastavení barvové palety „Blues“ (implicitní nastavení po spuštění programu) |
| 1 | nastavení barvové palety „Gold“ |
| 2 | nastavení barvové palety „Greens“ |
| 3 | nastavení barvové palety „Ice“ |
| 4 | nastavení barvové palety „Juteblue“ |
| 5 | nastavení barvové palety „Jutemap“ |
| 6 | nastavení barvové palety „Jutes“ |
| 7 | nastavení barvové palety „Mandmap“ (to je použito na níže zobrazeném screenshotu) |
| 8 | nastavení barvové palety „Phong“ |
| 9 | nastavení barvové palety „Rose“ |
Obrázek 3: Screenshot prvního demonstračního příkladu s Barnsleyovým fraktálem M1
4. Fraktál pojmenovaný Barnsley M2
Druhá Mandelbrotova varianta Barnsleyovy fraktální množiny, kterou označuji symbolem M2, vzniká použitím složitějšího iteračního vztahu, který je možné v pseudokódu zapsat následujícím způsobem (proměnné z i c nabývají opět komplexních hodnot):
if (real(z)*imag(c) + real(c)*imag(z) >= 0)
z(n+1) = (z-1)*c
else
z(n+1) = (z+1)*c Po rozpisu komplexních proměnných na jejich reálné a imaginární složky již můžeme zapsat fragment céčkovského kódu, který bude následně použitý v iterační smyčce:
zx2=zx*zx;
zy2=zy*zy;
if (zx2+zy2>4) break; // test na ukončení iterační smyčky
if (zx*cy0+zy*cx0>=0) {
zxn=zx*cx0-zy*cy0-cx0;
zyn=zx*cy0+zy*cx0-cy0;
}
else {
zxn=zx*cx0-zy*cy0+cx0;
zyn=zx*cy0+zy*cx0+cy0;
}
zx=zxn; // přepis nových hodnot do proměnné Z
zy=zyn; Celá funkce, která bude provádět výpočet a následné překreslení Mandelbrotovy verze Barnsleyovy fraktální množiny má tvar:
//-----------------------------------------------------------------------------
// Překreslení Barnsleyovy fraktální množiny M2
//-----------------------------------------------------------------------------
void recalcBarnsleyM2(pixmap *pix, // pixmapa pro vykreslování
int maxiter, // maximální počet iterací
double scale, // měřítko obrazce
double xpos, // posun obrazce
double ypos,
int palette, // barvová paleta
int rf, int gf, int bf) // příznaky barvových složek
{
double zx, zy, zx2, zy2, zxn, zyn; // složky komplexní proměnné Z a Z^2
double cx0, cy0;
double xmin, ymin, xmax, ymax; // rohy vykreslovaného obrazce v komplexní
// rovině
int x, y; // počitadla sloupců a řádků v pixmapě
int iter; // počitadlo iterací
unsigned char r, g, b;
calcCorner(xpos, ypos, scale, &xmin, &ymin, &xmax, &ymax);
cy0=ymin;
for (y=0; y<pix->height; y++) { // pro všechny řádky v pixmapě
cx0=xmin;
for (x=0; x<pix->width; x++) { // pro všechny pixely na řádku
zx=0; // nastavit počáteční hodnotu Z(0)
zy=0;
for (iter=0; iter<maxiter; iter++) {// iterační smyčka
zx2=zx*zx; // zkrácený výpočet druhé mocniny složek Z
zy2=zy*zy;
if (zx2+zy2>4) break; // test na ukončení iterační smyčky
if (zx*cy0+zy*cx0>=0) {
zxn=zx*cx0-zy*cy0-cx0;
zyn=zx*cy0+zy*cx0-cy0;
}
else {
zxn=zx*cx0-zy*cy0+cx0;
zyn=zx*cy0+zy*cx0+cy0;
}
zx=zxn; // přepis nových hodnot do proměnné Z
zy=zyn;
}
mapPalette(palette, iter, &r, &g, &b);
r=r*rf; // uživatelem řízené vynulování
g=g*gf; // vybraných barvových složek
b=b*bf;
putpixel(pix, x, y, r, g, b);
cx0+=(xmax-xmin)/pix->width; // posun na další bod na řádku
}
cy0+=(ymax-ymin)/pix->height; // posun na další řádek
}
} Barnsleyův fraktál M2 je zobrazen na čtvrtém a pátém obrázku. I zde si povšimněte „krystalických“ struktur, které je možné v obrázcích nalézt.
Obrázek 4: Detail Barnsleyova fraktálu M2
Obrázek 5: Další detail Barnsleyova fraktálu M2
5. Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M2
Podobně jako v případě prvního demonstračního příkladu, i dnešní druhý demonstrační příklad, využívá výše vypsanou céčkovskou funkci. Pomocí druhého příkladu byl získán i následující obrázek. Všimněte si, že tato fraktální množina již není tak „krystalická“, jako fraktální množina M1.
Obrázek 6: Screenshot druhého demonstračního příkladu s Barnsleyovým fraktálem M2
6. Fraktál pojmenovaný Barnsley M3
Třetí verze Mandelbrotovy fraktální množiny nazývaná Barnsley M3 používá už poměrně složitý iterační vztah, který je možné vyjádřit následujícím pseudokódem:
if (real(z(n) > 0)
z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1)
+ i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)))
else
z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
+ i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n)) Při přepisu iteračního vztahu budeme postupovat podobným způsobem, jako u předchozích dvou fraktálních množin: rozepíšeme komplexní proměnné z a c na jejich reálnou a imaginární složku. Výsledný fragment kódu bude kupodivu velmi jednoduchý:
zx2=zx*zx; // zkrácený výpočet druhé mocniny složek Z
zy2=zy*zy;
if (zx>0) {
zxn=zx2-zy2-1;
zyn=2.0*zx*zy;
}
else {
zxn=zx2-zy2-1+cx0*zx;
zyn=2.0*zx*zy+cy0*zx;
} Tento kód je použitý i v céčkovské funkci, která slouží k výpočtu a vykreslení fraktální množiny M3 pro zadané vstupní parametry:
//-----------------------------------------------------------------------------
// Překreslení Barnsleyovy fraktální množiny M3
//-----------------------------------------------------------------------------
void recalcBarnsleyM3(pixmap *pix, // pixmapa pro vykreslování
int maxiter, // maximální počet iterací
double scale, // měřítko obrazce
double xpos, // posun obrazce
double ypos,
int palette, // barvová paleta
int rf, int gf, int bf) // příznaky barvových složek
{
double zx, zy, zx2, zy2, zxn, zyn; // složky komplexní proměnné Z a Z^2
double cx0, cy0;
double xmin, ymin, xmax, ymax; // rohy vykreslovaného obrazce v komplexní
// rovině
int x, y; // počitadla sloupců a řádků v pixmapě
int iter; // počitadlo iterací
unsigned char r, g, b;
calcCorner(xpos, ypos, scale, &xmin, &ymin, &xmax, &ymax);
cy0=ymin;
for (y=0; y<pix->height; y++) { // pro všechny řádky v pixmapě
cx0=xmin;
for (x=0; x<pix->width; x++) { // pro všechny pixely na řádku
zx=0; // nastavit počáteční hodnotu Z(0)
zy=0;
for (iter=0; iter<maxiter; iter++) {// iterační smyčka
zx2=zx*zx; // zkrácený výpočet druhé mocniny složek Z
zy2=zy*zy;
if (zx2+zy2>4) break; // test na ukončení iterační smyčky
if (zx>0) { // test na znaménko reálné složky Z
zxn=zx2-zy2-1;
zyn=2.0*zx*zy; // kladné znaménko
}
else {
zxn=zx2-zy2-1+cx0*zx; // záporné znaménko
zyn=2.0*zx*zy+cy0*zx;
}
zx=zxn; // přepis nových hodnot do proměnné Z
zy=zyn;
}
mapPalette(palette, iter, &r, &g, &b);
r=r*rf; // uživatelem řízené vynulování
g=g*gf; // vybraných barvových složek
b=b*bf;
putpixel(pix, x, y, r, g, b);
cx0+=(xmax-xmin)/pix->width; // posun na další bod na řádku
}
cy0+=(ymax-ymin)/pix->height; // posun na další řádek
}
} Na sedmém a osmém obrázku jsou ukázány dva detaily Barnsleyovy fraktální množiny M3. V této množině je možné nalézt oblasti, které při vhodně zvolené barvové paletě připomínají mraky nebo turbulentní proudění dvou různě zabarvených kapalin.
Obrázek 7: Detail Barnsleyova fraktálu M3
Obrázek 8: Další detail Barnsleyova fraktálu M3
7. Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M3
Dnešní třetí demonstrační příklad slouží k výpočtu a následnému vykreslení Barnsleyovy fraktální množiny M3. Screenshot získaný z tohoto demonstračního příkladu je zobrazený na devátém obrázku.
Obrázek 9: Screenshot třetího demonstračního příkladu s Barnsleyovým fraktálem M3
8. Obsah dalšího pokračování tohoto seriálu
V následujícím pokračování tohoto seriálu si popíšeme Juliovy verze Barnsleyových fraktálů, jež vychází z výše popsaných fraktálů M1, M2 a M3, ovšem jejich obrázky jsou již mnohem zajímavější.
ČLÁNKY DO MAILU