Motto
„Fractal Geometry Is Infinite.
Fractal Geometry Is Nature.
Nature Is Infinite“
Odkazy na obsahy všech dílů seriálu o fraktálech
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
1. Úvod
Datum vydání: 26.10.2005
Vysvětlení pojmů fraktál, fraktální geometrie, soběpodobnost, geometricky hladké útvary a nekonečně členité útvary. Popis aplikací vycházejících z fraktální geometrie. Informace o zakladateli moderní fraktální geometrie – Benoitu B. Mandelbrotovi.
2. Dimenze, fraktály, soběpodobnost
Datum vydání: 2.11.2005
Vysvětlení pojmů dimenze, topologické dimenze a Hausdorffovy dimenze. Popis způsobů výpočtu Hausdorffovy dimenze na několika jednoduchých geometrických tvarech: úsečky, čtverci, krychli a křivce Helge von Kocha. Výpis Hausdorffovy dimenze vybraných přírodních útvarů s fraktální charakteristikou.
3. Soběpodobnost a atraktory
Datum vydání: 9.11.2005
Soběpodobnost a její vztah k fraktálům. Popis atraktorů, zejména nejznámějšího podivného atraktoru: Lorenzova atraktoru. Vysvětlení problému tří těles, bifurkace a stručný přehled nejvíce používaných typů fraktálních objektů, se kterými se můžeme setkat v počítačové grafice.
4. Typy fraktálů
Datum vydání: 16.11.2005
Dělení fraktálních objektů do kategorií: dynamické systémy s fraktální strukturou, L-systémy, systémy iterovaných funkcí (IFS), stochastické fraktály. Popis nejčastějšího využití fraktální geometrie v jiných vědních disciplínách (kromě počítačové grafiky) a v praxi.
5. Dynamické systémy s fraktální strukturou
Datum vydání: 23.11.2005
Popis dynamických systémů a jejich souvislosti s fraktály a fraktální geometrií. Lineární a nelineární dynamické systémy, dynamické systémy se zpětnou vazbou, jednodimenzionální dynamické systémy. Bifurkační diagramy a logistické mapy (logistické funkce).
Demonstrační příklady:
- Logistická funkce
- Bifurkační diagramy
6. Dvoudimenzionální dynamické systémy
Datum vydání: 30.11.2005
Nelineární dynamické systémy, princip vykreslování orbitů v dvourozměrném a třírozměrném prostoru. Tato část seriálu je zaměřena především prakticky s důrazem na demonstrační příklady.
Demonstrační příklady:
- Hénonův atraktor
- Dynamický systém nazvaný Martin
- Dynamický systém nazvaný Gingerbreadman
- Dynamický systém nazvaný Hopalong
- Dynamický systém nazvaný Chip
- Dynamický systém nazvaný Quadruptwo
7. Dvoudimenzionální a třídimenzionální dynamické systémy
Datum vydání: 7.12.2005
Opět se jedná o prakticky zaměřenou část seriálu s uvedením několika demonstračních příkladů, ve kterých jsou vykreslovány vybrané dynamické systémy jak v ploše, tak i v prostoru.
Demonstrační příklady:
- Dynamický systém Kamtorus vytvořený v ploše
- Dynamický systém Pickover vytvořený v ploše
- Dynamický systém Latoocarfian vytvořený v ploše
- Dynamický systém Kamtorus vytvořený v prostoru
- Dynamický systém Pickover vytvořený v prostoru
8. Dvoudimenzionální dynamické systémy s více počátečními podmínkami
Datum vydání: 14.12.2005
Popis dynamických systémů, u nichž se provádí zobrazování jejich orbitů v rovině nebo v třídimenzionálním prostoru. Tvorba obrazců pomocí zobecněného dynamického systému, zobrazení orbitů Mandelbrotovy množiny (takzvané Mandelbrotovo mračno) a zobrazení dynamického systému nazvaného Popcorn.
Demonstrační příklady:
- Dynamický systém nazvaný Popcorn zobrazený v ploše
- Barevné zvýraznění dynamického systému Popcorn
- Mandelbrotovo mračno
9. Zobrazení atraktorů třídimenzionálních dynamických systémů
Datum vydání: 21.12.2005
Dynamické systémy, jejichž orbity nejsou vykreslovány v rovině, ale v třírozměrném prostoru. Mezi tyto systémy patří především známý Lorenzův a Rosslerův atraktor. Tvorba orbitů těchto dynamických systémů je ukázána na čtyřech demonstračních příkladech.
Demonstrační příklady:
- První modifikace Lorenzova atraktoru
- Druhá modifikace Lorenzova atraktoru
- Třetí modifikace Lorenzova atraktoru
- Rosslerův atraktor
10. Dynamické systémy v komplexní rovině – Juliovy množiny
Datum vydání: 28.12.2005
Zobrazování map vybraných dynamických systémů v komplexní rovině. Mapy dynamických systémů v komplexní rovině, stručná historie Juliových množin. Komplexní parabola, trojúhelníková nerovnost pro funkci komplexní paraboly. Definice Juliových množin, způsoby vykreslení Juliových množin.
11. Vykreslování Juliových množin, typy Juliových množin
Datum vydání: 4.1.2006
Vykreslování Juliových množin v ploše, funkce pro výpočet bodů ležících v Juliově množině, typy Juliových množin.
Demonstrační příklady:
- Vykreslení Juliovy množiny
- Změna měřítka a posun obrazce
- Změna hodnoty komplexní konstanty c
12. Mandelbrotova množina – úvodní informace
Datum vydání: 11.1.2006
Stručná historie Mandelbrotovy množiny, Mandelbrotova množina jako dynamický systém, jehož hranice má Hausdorffovu dimenzi rovnou dvěma. Test na divergenci orbitu, výpočet bodů ležících v Mandelbrotově množině. Udo von Aachen a historicky první obrázek Mandelbrotovy množiny.
13. Vykreslování Mandelbrotovy množiny
Datum vydání: 18.1.2006
Zobrazení celé Mandelbrotovy množiny, obarvení Mandelbrotovy množiny, „ortodoxní“ pohled na Mandelbrotovu množinu, vykreslení detailů Mandelbrotovy množiny.
Demonstrační příklady:
- Vykreslení černobílé Mandelbrotovy množiny
- Vykreslení Mandelbrotovy množiny s barvovou paletou VGA
- Úprava poměru stran
- Mandelbrotova množina s možností zoomu
14. Pokročilé techniky vykreslování Mandelbrotovy množiny I
Datum vydání: 25.1.2006
Vztah mezi Mandelbrotovou množinou a Juliovými množinami. Interaktivní změna parametrů Juliovy množiny. Výpočet barvy vnitřních pixelů na základě zadané funkce. Způsoby obarvování bodů ležících uvnitř Mandelbrotovy množiny.
Demonstrační příklady:
- Vykreslení Mandelbrotovy množiny a množiny Juliovy
- Interaktivní změna barvové palety
15. Pokročilé techniky vykreslování Mandelbrotovy množiny II
Datum vydání: 01.02.2006
Možnosti obarvení bodů ležících vně Mandelbrotovy množiny, použití barvové palety, barva odvozená od hodnoty reálné složky orbitu, barva odvozená od hodnoty imaginární složky orbitu, barva odvozená od součtu reálné a imaginární složky orbitu, barva odvozená od úhlu orbitu ve chvíli ukončení iterační smyčky.
Demonstrační příklady:
- Použití barvové palety
- Barva odvozená od hodnoty reálné složky orbitu
- Barva odvozená od hodnoty imaginární složky orbitu
- Barva odvozená od součtu reálné a imaginární složky orbitu
- Barva odvozená od úhlu orbitu
16. Animace průletu Mandelbrotovou množinou, mapa Mandelbrotovy množiny
Datum vydání: 08.02.2006
Animace průletu Mandelbrotovou množinou, uvedení několika důležitých poznámek k formátu vytvořených animací (MPEG 1). Popis zajímavých oblastí, které je možné nalézt v Mandelbrotově množině: oblast nazývaná ‚Elephant valley‘, oblast nazývaná ‚Seahorse valley‘, oblast nazývaná ‚West seahorse valley‘, oblast nazývaná ‚Triple spiral valley‘, oblast nazývaná ‚Quad spiral valley‘.
Demonstrační příklady:
- Vytvoření animace Mandelbrotovy množiny
17. Netradiční způsoby vykreslování Mandelbrotovy množiny
Datum vydání: 15.02.2006
Parametrizace Mandelbrotovy množiny, nastavení hodnoty „perturbation“, změna podmínky použité pro ukončení iterační smyčky, test vzdálenosti orbitu od horizontální či vertikální přímky, vzdálenost orbitu od zadaného bodu či několika bodů v komplexní rovině.
Demonstrační příklady:
- Vykreslení Mandelbrotovy množiny s nastavením nenulové „perturbace“
- Změna ukončovací podmínky iterační smyčky
- Přídavná ukončovací podmínka iterační smyčky
- Animace Mandelbrotovy množiny s nastavením „perturbace“
- Další animace Mandelbrotovy množiny
- Třetí animace Mandelbrotovy množiny
18. Mandelbrotova množina a číselné posloupnosti a konstanty
Datum vydání: 22.02.2006
Mandelbrotova množina a konstanta π (PI), výpočet π z Mandelbrotovy množiny v okolí bodu –0,75+0i, výpočet π z Mandelbrotovy množiny v okolí bodu +0,25+0i, Mandelbrotova množina a posloupnost přirozených čísel, Mandelbrotova množina a Fibonacciho posloupnost.
19. Kubická Mandelbrotova množina a její varianty
Datum vydání: 01.03.2006
Kubická Mandelbrotova množina s iteračním vztahem Zn+1=Zn3+C. Rozepsání komplexní hodnoty Z3 na reálnou a imaginární část. Popis různých způsobů obarvení bodů (pixelů) ležících vně a uvnitř kubické Mandelbrotovy množiny.
Demonstrační příklady:
- Obarvení bodů ležících vně kubické Mandelbrotovy množiny na základě počtu iterací
- Obarvení bodů ležících vně kubické Mandelbrotovy množiny na základě reálné složky orbitu
- Obarvení bodů ležících vně kubické Mandelbrotovy množiny na základě imaginární složky orbitu
- Obarvení bodů ležících vně kubické Mandelbrotovy množiny na základě součtu reálné a imaginární složky orbitu
- Obarvení bodů ležících vně kubické Mandelbrotovy množiny na základě úhlu orbitu
20. Kubická Juliova množina a fraktály se vztahem Z=Z4
Datum vydání: 09.03.2006
Kubické Juliovy množiny s iteračním vztahem Zn+1=Zn3+C. Rozepsání komplexní hodnoty Z4 na reálnou a imaginární část, Mandelbrotova množina s iteračním vztahem Zn+1=Zn4+C, Juliovy množiny s iteračním vztahem Zn+1=Zn4+C, hodnota perturbation a její vztah k Mandelbrotově množině s iteračním vztahem Zn+1=Zn4+C.
Demonstrační příklady:
- Vykreslení kubické Mandelbrotovy a Juliovy množiny
- Mandelbrotova množina s mocninou čtyř (Z4)
- Mandelbrotova a Juliova množina s mocninou čtyř (Z4)
- Mandelbrotova množina s mocninou čtyř, možnost změny perturbace
21. Mandelbrotovy a Juliovy množiny s reálnou mocninou Z
Datum vydání: 14.03.2006
Reálná mocnina použitá ve vzorci Zn+1=Znr+C, Mandelbrotova množina s reálnou mocninou použitou v iterační smyčce, Juliovy množiny s reálnou mocninou použitou v iterační smyčce, animace Mandelbrotovy množiny při průběžné změně mocniny, vztah mezi symetrií Mandelbrotovy i Juliovy množiny a mocninou hodnoty Znr. Komplexní mocnina použitá v iterační smyčce.
Demonstrační příklady:
- Vykreslení Mandelbrotovy množiny s neceločíselnou mocninou Z
- Vykreslení Juliovy množiny s neceločíselnou mocninou Z
- Animace Mandelbrotovy množiny s neceločíselnou mocninou Z
22. Newtonova fraktální množina
Datum vydání: 21.03.2006
Newtonova iterační metoda použitá pro obor reálných čísel. Nalezení kořenů komplexního polynomu, citlivost na počáteční podmínky pro polynomy třetího a vyššího stupně. Odvození funkce Newtonovy iterační metody pro polynom z3-1=0, Newtonův fraktál polynomu z3-1=0, modifikovaný Newtonův fraktál polynomu z3-1=0, Newtonovy fraktály polynomů vyšších stupňů.
Demonstrační příklad:
- Vykreslení Newtonovy množiny pro řešení polynomu z3-1=0
23. Neceločíselné a komplexní mocniny u Newtonových fraktálních množin
Datum vydání: 28.03.2006
Tvorba modifikovaných Newtonových fraktálů. Newtonovy fraktály pro polynomy vyšších stupňů, Newtonova fraktální množina vytvořená pro polynom z4-1=0. Newtonova fraktální množina vytvořená pro polynom z8-1=0. Neceločíselná mocnina u polynomu řešeného Newtonovou iterační metodou, komplexní mocnina u polynomu řešeného Newtonovou iterační metodou.
Demonstrační příklady:
- Vykreslení Newtonovy množiny pro řešení polynomu z3-1=0 modifikovanou metodou
- Vykreslení Newtonovy množiny pro řešení polynomu z3-1=0 modifikovanou metodou se zvýrazněním kořenů
24. Fraktální množiny Michaela Barnsleye M1, M2 a M3
Datum vydání: 04.04.2006
Princip tvorby fraktálů navržených Michaelem Barnsleym v komplexní rovině, fraktál pojmenovaný Barnsley M1, fraktál pojmenovaný Barnsley M2, fraktál pojmenovaný Barnsley M3.
Demonstrační příklady:
- Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M1
- Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M2
- Demonstrační příklad vykreslující fraktál Barnsley M3
25. Fraktální množiny Michaela Barnsleye J1, J2 a J3
Datum vydání: 11.04.2006
Juliovy verze fraktálních množin Michaela Barnsleyho. Fraktální množina pojmenovaná Barnsley J1, fraktální množina pojmenovaná Barnsley J2, fraktální množina pojmenovaná Barnsley J3, rozšiřující parametrizace Barnsleyho fraktálních množin.
Demonstrační příklady:
- Demonstrační příklad vykreslující fraktální množinu Barnsley J1
- Demonstrační příklad vykreslující fraktální množinu Barnsley J2
- Demonstrační příklad vykreslující fraktální množinu Barnsley J3
26. Fraktální množiny typu Magnet I
Datum vydání: 18.04.2006
Fraktální množiny typu Magnet, iterační vztah platný pro tyto fraktální množiny, Mandelbrotova verze fraktální množiny Magnet 1. Hodnota perturbace a Mandelbrotova verze fraktální množiny Magnet 1. Juliova verze fraktální množiny Magnet 1.
Demonstrační příklady:
- Demonstrační příklad vykreslující Mandelbrotovu verzi fraktální množiny Magnet 1
- Demonstrační příklad vykreslující Mandelbrotovu verzi fraktální množiny Magnet 1 s aplikací perturbace
- Demonstrační příklad vykreslující Juliovu verzi fraktální množiny Magnet 1
27. Fraktální množiny typu Magnet II
Datum vydání: 25.04.2006
Fraktální množiny typu Magnet 2, iterační vztah platný pro tyto fraktální množiny, Mandelbrotova verze fraktální množiny Magnet 2. Hodnota perturbace a Mandelbrotova verze fraktální množiny Magnet 2. Juliova verze fraktální množiny Magnet 2.
Demonstrační příklady:
- Demonstrační příklad vykreslující Mandelbrotovu verzi fraktální množiny Magnet 2
- Demonstrační příklad vykreslující Mandelbrotovu verzi fraktální množiny Magnet 2 s aplikací perturbace
- Demonstrační příklad vykreslující Juliovu verzi fraktální množiny Magnet 2
28. Fraktální množina typu Phoenix se svojí Julivovou variantou
Datum vydání: 03.05.2006
Popis fraktálních množin typu Phoenix, které jsou pro svůj poutavý tvar použity v mnoha aplikacích určených pro tvorbu fraktálních obrázků. Iterační vztah platný pro fraktální množinu Phoenix, Mandelbrotova varianta fraktální množiny Phoenix, Juliova varianta fraktální množiny Phoenix. Hodnota perturbace a její vliv na tvar těchto množin.
Demonstrační příklady:
- Demonstrační příklad vykreslující Mandelbrotovu variantu fraktální množiny Phoenix,
- Demonstrační příklad vykreslující Juliovu variantu fraktální množiny Phoenix,
- Demonstrační příklad vykreslující množinu Phoenix ovlivněnou hodnotou perturbace,
29. Renderovací techniky fraktálů vytvářených v komplexní rovině
Datum vydání: 16.05.2006
Popis možností, jakými je možné urychlit výpočet bodů ležících vně a uvnitř fraktálních útvarů ležících v komplexní rovině. Pokročilejší vykreslovací techniky, pomocí nichž je možné významně zkrátit výpočty animací „průletu“ fraktálními množinami. Detekce periodické posloupnosti, metoda „boundary tracing“, metoda „tesseral“, metoda „solid-guessing“ a „diffusion scan“.
30. Systémy iterovaných funkcí IFS – základní informace
Datum vydání: 23.05.2006
Úvodní informace o systémech iterovaných funkcí, využití systémů iterovaných funkcí v počítačové grafice. Teorie systémů iterovaných funkcí. Algoritmus náhodné procházky. Matematický popis IFS systémů a práce s těmito systémy.
31. Systémy iterovaných funkcí a algoritmus náhodné procházky
Datum vydání: 30.05.2006
Systémy iterovaných funkcí z hlediska matematiky. Aplikace transformací v systému iterovaných funkcí. Vytvoření základního objektu s jeho pokrytím menšími kopiemi. Výpočet transformačních matic. Algoritmus náhodné procházky (RWA – Random Walk Algorithm).
Demonstrační příklad:
- Vykreslení IFS systému pomocí algoritmu náhodné procházky
32. Výpočet pravděpodobností v systémech iterovaných funkcí
Datum vydání: 06.06.2006
Výpočet pravděpodobnosti jednotlivých transformací v systémech iterovaných funkcí IFS. Vysvětlení několika způsobů výpočtu: výpočet pravděpodobnosti transformace vyjádřením koeficientu kontrakce, výpočet pravděpodobnosti transformace z poměru obsahů generovaných obrazců, výpočet pravděpodobností z poměru obsahů opsaných obdélníků či kvádrů, výpočet pravděpodobnosti z poměru obsahů opsaných kružnic či koulí, výpočet pravděpodobnosti transformace z koeficientu zkrácení úsečky, uniformní rozdělení pravděpodobností.
33. Algoritmus náhodné procházky a deterministický algoritmus
Datum vydání: 13.06.2006
Zhodnocení jednotlivých metod výpočtu pravděpodobností transformací v systémech iterovaných funkcí IFS, metody vybarvení IFS koláže, algoritmy pro výpočet IFS koláží. Algoritmus náhodné procházky (RWA) a deterministický algoritmus (DIA).
Demonstrační příklady:
- Aplikace algoritmu náhodné procházky
- Aplikace deterministického algoritmu
34. Modifikovaný algoritmus RWA a algoritmus MPA
Datum vydání: 20.06.2006
Popis modifikovaného algoritmu náhodné procházky (RWA). Aplikace algoritmu M-RWA bez použití pravděpodobností transformací a s použitím pravděpodobností. Popis algoritmu generování minima pixelů (MPA). Vzájemné porovnání algoritmů určených pro generování IFS fraktálů.
Demonstrační příklady:
- Aplikace algoritmu M-RWA bez použití pravděpodobností transformací
- Aplikace algoritmu M-RWA s využitím pravděpodobností transformací
35. Linearizované systémy iterovaných funkcí L-IFS
Datum vydání: 27.06.2006
Úvodní informace o linearizovaných systémech iterovaných funkcí (L-IFS). Souvislost mezi systémy IFS a L-IFS. Reprezentace systémů L-IFS v operační paměti (jedna z možností). Popis algoritmu vytváření fraktálního obrazce pomocí systémů L-IFS.
Demonstrační příklad:
- Vykreslení systému L-IFS
36. Interaktivní tvorba linearizovaných systémů iterovaných funkcí
Datum vydání: 04.07.2006
Význam řídicích bodů Ci a poměru dělení úsečky ξ na tvar vytvářeného objektu. Postup specifikace parametrů systémů L-IFS. Matice posloupnosti transformací a její praktický význam. Test korektnosti matice posloupnosti transformací. Algoritmus výběru dalšího řídicího bodu posloupnosti. Interaktivní vytváření obrazců pomocí linearizovaných systémů iterovaných funkcí. Popis algoritmů a postupů použitých v demonstrační aplikaci.
Demonstrační příklad:
- Demonstrační aplikace pro vytváření fraktálů pomocí L-IFS systémů napsaná v Javě
37. Plynulý morfing mezi dvojicí IFS systémů
Datum vydání: 12.07.2006
Animace změny tvaru systému iterovaných funkcí. Princip morfingu IFS systémů. Demonstrační příklad umožňující změnu tvaru IFS systému. Demonstrační příklad na morfing napsaný v Javě. Výpis nejdůležitějších metod použitých v demonstračním příkladu.
Demonstrační příklad:
- Změna tvaru IFS systému (demonstrační příklad je napsaný v Javě)
38. Fractal Flames
Datum vydání: 18.07.2006
Úvodní informace o fraktálech nazývaných „Fractal Flame“, jejichž algoritmus vymyslel a implementoval Scott Draves. Rozdíl mezi „Fractal Flame“ a klasickými systémy iterovaných funkcí. Rozšíření afinních transformací – variace. Funkce použité při výpočtu variací. Logaritmická závislost při vykreslování plošného histogramu. Způsoby obarvení jednotlivých pixelů při vykreslování Fractal Flames. Symetrie a její vliv na generovaný obrazec. Ukázky obrázků tohoto typu fraktálu.
39. Algoritmus Fractal Flame prakticky
Datum vydání: 25.07.2006
Praktická implementace algoritmu Fractal Flame. Nelineární funkce – variace – a její vliv na výsledný obrázek. Logaritmická závislost při výpočtu plošného histogramu. Monochromatické obrázky. Vícebarevné obrázky. Funkce pro překreslení fraktálu. Fractal Flames v GIMPu.
Demonstrační příklad:
- Vykreslení fraktálních obrázků pomocí algoritmu Fractal Flame navrženého Scottem Dravesem
40. Trojrozměrné IFS a raytracer POV-Ray
Datum vydání: 01.08.2006
Trojrozměrné systémy iterovaných funkcí, jejich význam a odlišnost od plošných IFS. Způsob zobrazení trojrozměrných systémů iterovaných funkcí. Implementace výpočtu a zobrazení trojrozměrného systému iterovaných funkcí pomocí grafické knihovny OpenGL. Vizualizace trojrozměrných IFS systémů pomocí programu POV-Ray. Ukázka souboru s vygenerovanými body IFS systému. Ukázka vygenerovaného souboru určeného pro program POV-Ray (soubor je bez potřeby dalších úprav připraven pro raytracing).
Demonstrační příklady:
- Vykreslení trojrozměrného systému iterovaných funkcí
- Převodník vygenerovaných trojrozměrných IFS pro program POV-Ray