Vlákno názorů k článku Fraktály v počítačové grafice I od xxx - clanek sem moc necetl jen sem ho zbezne...
-
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelTen sesty obrazek je udelany ve FractIntu a jedna se o typ nazvany Dynamic. Ten fraktal je vlastne slozeny z "pole" trajektorii bodu, jehoz pohyb je urcovan rovnicemi vykazujicimi fraktalni charakteristiky. O "polich" trajektorii mluvim proto, ze pocatecni body trajektorii tvori v rovine mrizku. Blizsi informace o tomto typu jsou bud v dokumentaci k FractIntu, nebo na teto strance: http://spanky.triumf.ca/www/fractint/dynamic_type.html (myslim si, ze "muj" obrazek je hezci, nez ten z te dokumentace :-)
Sedmy obrazek vlastne predstavuje dynamicky system vykreslovany podobne jako klasicka Mandelbrotova mnozina - tj. zobrazuje se pocet iteraci nutnych pro splneni nejake podminky. Tady je pouzit trosku slozitejsi vztah, nez u klasickeho M-setu. Presne zneni mam doma, zitra ho poslu do diskuse. -
Pavel TišnovskýZlatý podporovateldifrce - to je dobry, urcite to nekde pouziju :-)
My jsme treba psali prg-fish = program finish -
xxx (neregistrovaný)difrce ... to uz je takova deformace ze skoly :)
btw. uvazoval jsem nad nasledujici veci. fraktaly (napr. mandebrotovu mnozinu) prakticky zname jen z obrazku ziskanych diky vypocetni technice. toto vsak nejsou skutecne fraktaly ale jen aproximace zatizene numerickymi chybami pri vypoctu (ktere vubec nemusi byt male). zajimalo by me na kolik jsou takove jevy jako je prave sobepodobnost prozkoumane rekneme matematicky. ja osobne si dukaz sobepodobnosti nedovedu vubec predstavit. je-li ovsem sobepodobnost jen jakousi empirickou vlastnosti ziskanou pozorovanim chybami zatizenych obrazku, jak muzeme tvrdit, ze to je vlastnost skutecnych fraktalu. -
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelAno, to je velmi zajimava myslenka, kdesi jsem dokonce cetl nazor, ze pri absolutne presnych vypoctech by neco jako Mandelbrotova mnozina ani nevznikla. M-set je vsak pouze jednim z fraktalu u nejz se pouzivaji v principu nepresne vypocty (= vysledky se ukladaji na konecny pocet bitu) a nutno podotknout, ze chyby se pri iterativnich vypoctech obecne kumuluji, takze vysledek muze byt mnohdy zatizen dosti zavaznou chybou.
Dalsi fraktaly jsou vsak konstruovany ciste geometricky, napriklad krivka Helge von Kocha (je ukazana v clanku) apod. Tady si lze udelat jasnou predstavu jiz po nekolika iteracich - ale i tady jsme zatizeni chybou a to vinou konecneho rastru, na kterem se krivka zobrazi ci tiskne.
Dukaz o sobepodobnosti bych taky nedokazal vyslovit, ale da se na to jit obracene tak, ze se sobepodobna mnozina definuje tim zpusobem, ze obsahuje sebe samu po aplikaci nejakych transformaci (napriklad linearnich). -
xxx (neregistrovaný)jasne u veci, ktere jsou na tom zalozeny (napr. kochova vlocka), to je jasne. ale u mnoziny, ktera jsou vysledkem iteracniho procesu na pocitaci, to uz tak jasne neni. nevim jestli by m-set vznikla pri presnem vypoctu, mozna ano. mam sice nejakou literaturu, ale nikdy sem k tomu nic necetl.
je napriklad zname, ze pri reseni soustavy rovnic na pocitaci pomoci gaussovy eliminace (klasicky postup vykladany na gymplu nebo v prvaku na vs) se elementarni zaokrouhlovani muze projevit tak, ze vypocteny "vysledek" nijak nekoresponduje se skutecnym resenim. jinymi slovy, chyba muze byt libovolne velka (rozumej neni omezena), treba 1000%.
spekulujme: sobepodobnost nemusi byt vlastnosti fraktalu (treba m-setu) ale je indukovana pouzitim nepresne aritmetiky. jak lze neco takoveho pouzit v praxi (napr. fraktalni komprese)? ty algoritmy musi byt silne nestabilni. a ostatne v praxi casto sou, viz zavislost treba lorenzova atraktoru na pocatecnich podminkach. -
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelJe dokazano (a ten dukaz je strasne slozity a plny vselijakych klikyhaku :-) - autor dukazu si nevystacil s reckou abecedou, tak do toho jeste zatahl Hebrejstinu :-)), jakym zpusobem jsou rozmisteny male kopie Mandelbrotovy mnoziny v mnozine same. Neni to sice dukaz o sobepodobnosti, ale o umisteni Feigenbaumovych bodu v mnozine - i to ale mnohe vypovida.
Take jsem videl dukaz o rozmisteni "bublin" v Mandelbrotove mnozine - to jsou takove ty kruhove casti rozmistene napriklad kolem nejvetsiho srdcoveho tvaru M-setu. Tento dukaz, spolu s vypoctem ploch bublin (az do predem daneho epsilon) poslouzil ke stanoveni dolni meze obsahu
Mandelbrotovy mnoziny.
Dalsi dukazy o M-setu: mnozina je spojita, H. dimenze hranice je rovna dvema.
Nezname: plochu vypoctenou analyticky, analyticke vyjadreni hranice (napriklad pomoci rady).
Jestli to dobre chapu, tak si nejste jisty, jak by M-set vypadala pri absolutne presnych vypoctech. Mam takove tuseni, ze to analyticky nepujde zjistit (tj. nejde prevest iterativni vypocet na vypocet analyticky), ale horni i dolni meze jsou predem dane. Tj. presne vime, ktere body uz do M-setu nepatri (|z|>2) a ktere do ni na sto procent patri (vnitrek srdcovky). O zbyvajicich bodech se to asi nikdy presne nedozvime (muj soukromy nazor), muzeme to pouze vytusit z tech vyse uvedenych dukazu a take z toho, ze hranice M-setu ma H. dimenzi rovnu dvema, i kdyz je to krivka s t. dimenzi rovnou jedne.
Spravne, Locenzuv atraktor (resp. zpusob jeho vypoctu) vykazuje nestability. Dokonce se v dobe jeho prvotniho zkoumani soudilo, ze jeho "podivne" chovani - odtud nazev podivny atraktor - je vysledkem chyb v pocitaci. Ten byl ovsem jeste analogovy. -
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelHodne se tim zabyva prave Devaney. Nevim, jestli je to prezentovano v jeho knihach, ale mam nejake clanky stazene z ACM (jeste kdyz jsem byl clenem :-(). Ale neni to ani moc ctive ani prakticke - tedy alespon z meho programatorskeho pohledu, matematik by mozna mel jiny nazor.
Nejsem si jisty, kdo dokazal H. dimenzi hranice M-setu, ale mozna to byl take prave Devaney - ted si rikam, jestli to nakonec nebylo popsane dokonce v "The Beauty of Fractals" (nema nekdo elektronickou verzi?). Tento dukaz povazuji za nejdulezitejsi, druhy velmi dulezity je ten o spojitosti M-setu. -
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelI toto beru :-) E-mail mam napsany na autorske strance - http://www.root.cz/autori/pavel-tisnovsky/
-
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelTak v predchozim prispevku jsem trosku kecal. Spojitost dokazali J. Hubbard a A. Douad (takze odkaz na "The Beauty of Fractals" je dobre) a H. dimenzi spocital Shishikura, a to az v roce 1994. Kdyztak se mrknete na stranku http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html
-
IA (neregistrovaný)Sobepodobnost lze matematicky analyzovat a taky se to dela. Zrovna mandelbrotova mnozina se da docela jednoduse odhadnout - ze ten obrazec bude sobepodobny a dost slozity uz z toho predpisu. Staci se na to podivat z druhe strany.
Prirazeni barvy k bodu je dano tim, po kolika iteracich je hodnota funkce vetsi nez 2. Vime, ze je mnozina, kdy se to povede po prvni iteraci, ta se barvi barvou 1, oznacme tu mnozinu 1. Jenze na tuhle mnozinu se zobrazila jina mnozina a ta dostane barvu 2, oznacme 2, atd. Kdyz se kouknete na predpis, tak tak je videt ze to je jakesi pootoceni te roviny, vlastne dvojnasobne, protoze body v polorovine s kladnym i se roztahnou po celem obvodu, stejne tak body se zapornym i. Pak se to jeste cele posune, kazdy bod trochu jinak, vlastne roztahne od stredu a ke stredu. Takze mnozina 2 bude celkove o neco blize stredu, bude tenci a bude 2x slozitejsi nez mnozina 1 - vsechny tvary z 1 tam budou 2x a trochu zdeformovane. No a tak to pokracuje dal ze. Takze se da rict, ze kazda dalsi mnozina bude trochu podobna te predchozi, zdeformovanejsi, slozitejsi. To ze to bude stale trochu podobne lze nahlednout treba tak, ze sjednoceni mnozin treba 1-10 bude podobne mnozinam 2-11 atd. Tim myslim, ze jejich hranice budou podobne. Tak to funguje na vsech urovnich.
Je to receno dost vagne, ale doufam ze srozumitelne a ze je z toho zrejme, ze tam budou dosti slozite sobepodobne utvary.
Nebo jeste jinak. Kdyz vidite maly vyrez, ktery vypada stejne jako velka mnozina, tak to proste znamena, ze tento vyrez se treba 20x rotuje kolem stredu, porad se trosku zvetsuje az nakonec dopadne na ten celek. Takze se da cekat, ze celek bude mit spoustu sobe podobnych obrazu na vnitrni hrane mnoziny, ktere ovsem hezky dotvari ten celek :-). No radsi bych to nakreslil nekde u piva. -
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelAno, takhle je mozne uvazovat (podobne ba stejne je to i u IFS systemu), problem vsak je, ze se tim ziskaji prave pouze kopie zakladni mnoziny, ktera je navic po prvni iteraci velmi nepresna a uz v teto chvili muze byt zatizena vypocetni chybou. Neresi se tim existence "vlaken" a podobnych utvaru, ktere s v M-setu daji najit. btw: ta vlakna jsou nekonecne tenka.
Ja jsem pro, abysme sli na pivo, o fraktalech jsem si uz dlouho "z oci do oci" nepopovidal :-) (naposledy s prof. Serbou) a lidi z odbornych diskusnich for jsou od CR dost daleko. -
xxx (neregistrovaný)je to velmi zajimave. nikdy sem nad tim moc nepremyslel, jen sem nadhodil myslenku co sem mel zasunutou kdesi v hlave :). asi mate pravdu, jiste by to chtelo probadat trochu precizneji ale na to bohuzel nemam cas. takze me spis zajimalo, jak moc toho vlasne o fraktalech vime, co (ne)umime dokazat a tak.
btw u piva bychom jiste mohli velmi dobre precizovat pri studiu jeho fraktalnich vlastnosti, zejmena pak sobepodobnosti bublinek peny, ale predpokladam ze nejsme ve stejnem meste (ja byt v liberci :) -
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelNepresne jsem se vyjadril, ale myslime oba to stejne. Mimochodem, pekne se o Lorenzove atraktoru rozepsal Gleick ve sve knize "Chaos - vznik nove vedy"/"Chaos - making a new science".
-
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelKlidne mi ji poslete, vezmu klidne i MS format :-))) Ja jsem - a uz je to dost davno - psal diplomku prave o fraktalech, ale tam to bylo pojednano hlavne z praktickeho hlediska, protoze cilem byla funkcni aplikace.
-
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelTak to je ještě lepší (další věc, na které se shodneme) :-) Tou zmínkou o formátech jsem myslel můj opravdový zájem o tu diplomku, jinak podobné přílohy ignoruju (teda, když si to můžu dovolit :-)
-
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelMezi tyto charakteristiky patri zejmena invariance vuci zmene meritka (tj. charakteristicke tvary fraktalu se opakuji v jakemkoli zvetseni) a potom take fakt, ze teleso/objekt/mnozina ma necelociselnou Hausdorffovu dimenzi - o te si budeme vykladat priste.
-
Pavel TišnovskýZlatý podporovatelAno, Hausdorffova dimenze musi byt ostre vetsi nez dimenze topologicka. Hranice M-setu je mezni pripad v rovine, kdy ma krivka topologickou dimenzi rovnu jedne a fraktalni (Hausdorffovu) dimenzi rovnu dvema.
