Hlavní navigace

Křivky v přírodě, architektuře, stavitelství i v počítačové grafice: matematický popis křivek

10. 8. 2021
Doba čtení: 27 minut

Sdílet

 Autor: Wikipedia, podle licence: CC-BY-SA
Ve druhé části miniseriálu o křivkách, které můžeme nalézt v přírodě, architektuře i v počítačové grafice si řekneme, jak mohou být křivky popsány. Dále se zmíníme o dalších významných křivkách a nezapomeneme ani na příklady.

Obsah

1. Křivky v přírodě, architektuře, stavitelství i v počítačové grafice: matematický popis křivek

2. Popis křivek explicitní funkcí typu y=f(x)

3. Parametrické křivky

4. Zobecnění parametrických křivek: parametrické plochy

5. Popis křivky implicitní funkcí typu F(x,y)=0

6. Superelipsy

7. Křivky vzniklé odvalováním kružnice – cykloidy, epicykloidy a hypocykloidy

8. Epitrochoidy a hypotrochoidy – křivky z grafické pomůcky Inspiro/Spirograph

9. Lissajousovy obrazce

10. Praktická část článku

11. Superelipsy

12. Cykloida

13. Epicykloidy

14. Hypocykloidy

15. Hypotrochoidy

16. Lissajousovy obrazce

17. Křivky zadané implicitní funkcí

18. Vykreslení implicitně zadaných křivek

19. Repositář s demonstračními příklady

20. Odkazy na Internetu

1. Křivky v přírodě, architektuře, stavitelství i v počítačové grafice: matematický popis křivek

V úvodním článku o křivkách, které můžeme nalézt v přírodě, architektuře a v moderní době i v počítačové grafice, jsme se mj. ve stručnosti seznámili s tím, že některé křivky, zejména kuželosečky a posléze i křivky získané řezem anuloidu, byly prozkoumány a popsány již v antickém Řecku. Ovšem staří Řekové se soustředili především na geometrické konstrukce, nikoli na čistě matematický popis křivek. Tento další velmi významný další krok byl uskutečněn až o přibližně 1800 let později slavným René Descartem, a to konkrétně na přelomu šestnáctého a sedmnáctého století. Právě Descartes je společně s Fermatem považován za zakladatele takzvané analytické geometrie, tedy vlastně číselného a analytického zkoumání geometrických objektů. Tyto své teorie, společně s popisem neméně důležitého kartézského systému souřadnic (další významný pokrok) Descartes publikoval ve svém stěžejním díle Geometrii (ve skutečnosti ovšem napsal více stěžejních děl, od filozofických spisů přes fyziku právě až po matematiku). Většina údajů, s nimiž se v dnešním článku setkáme, přímo či nepřímo souvisí právě s objevy a teoriemi prezentovanými Descartem.

Descartovým současníkem byl mj. i další slavný učenec Johannes Kepler, který některé postupy související s matematickým popisem křivek využil při formulaci svých (Keplerových) zákonů odvozených z předpokladu, že planety obíhají okolo Slunce (tedy mnohem hmotnějšího tělesa) po elipsách, přičemž Slunce leží v jednom ohnisku elipsy. Tento model byl (v běžných podmínkách a v „rozumném“ časovém období) již dostatečně přesný na to, aby byl široce akceptován a právě zde se ukázala síla novodobé matematiky, která překonala původní modely planetární soustavy odvozené od soustavy kružnic (resp. jak uvidíme dále epicykloidů), která se společně s přesnějšími měřeními stávala značně složitou – musely se totiž postupně přidávat další a další odvalující se kružnice, aby odhady odpovídaly pozorování.

Poznámka: k postavě Johanna Keplera se ještě vrátíme, neboť se jednalo o nepřehlédnutelného učence, který ukázal velkou morální sílu, když zahodil svůj původní heliocentrický model, jenž byl sice velmi elegantní, ale neodpovídal pozorování.

2. Popis křivek explicitní funkcí typu y=f(x)

Některé křivky – ovšem je to ve skutečnosti jen podmnožina všech křivek – můžeme popsat takzvanou explicitní rovnicí ve tvaru:

y = f(x)

Obrázek 1: Explicitní rovnicí lze popsat například řetězovka zmíněná minule.

Tento popis je sice nejjednodušší a umožňuje popsat jak (některé) křivky algebraické, tak i křivky transcendentní, ovšem není možné ho použít například ve chvíli, kdy křivka obsahuje dva či více bodů ležících přímo nad sebou. Příkladem jsou jak obecně umístěné kuželosečky, tak i například spirály, z nichž některé jsme si (prozatím ovšem bez důkladnějšího popisu) uvedli minule. V případě kuželoseček se tento problém může řešit tak, že funkce f představuje jen polovinu kuželosečky – ovšem výsledná reprezentace již nedokáže popsat plynulý pohyb bodu po kuželosečce (či obecně po křivce).

Obrázek 2: Logaritmická spirála, kterou nelze popsat explicitní funkcí.

3. Parametrické křivky

Velkým krokem vpřed při matematickém popisu křivek bylo zavedení bodové funkce. Bodovou funkci parametrické křivky P3D(t) s parametrem t lze zapsat ve tvaru:
P3D(t)=[x(t), y(t), z(t)]

V ploše se zápis zjednoduší, protože není nutné vyjadřovat z-ovou souřadnici:
P2D(t)=[x(t), y(t)]

kde x a y jsou na sobě nezávislé funkce.

Díky tomu, že parametr t již není vázaný na x-ovou souřadnici, je možné bodovou funkcí popsat například i spirály, křivky, jejichž body mají shodnou x-ovou souřadnici atd. Ovšem – a to je již téma pro samostatný článek – ani tento popis není vhodný pro všechny typy křivek; typicky neobstojí u fraktálních křivek (sněhová vločka Helge von Kocha atd.).

Obrázek 3: Obecná elipsa je plně popsatelná bodovou funkcí.

4. Zobecnění parametrických křivek: parametrické křivky

S parametrickými křivkami (tedy objekty s jednou dimenzí, které existují v 2D či 3D prostoru) souvisí jejich zobecnění – parametrické plochy. Jen krátce se o nich zmiňme, protože, i když se nejedná o křivky, mají velký až obrovský význam v 3D grafice, v CAD/CAM atd. Při popisu hranice tělesa s využitím takzvané parametrické hraniční reprezentace je povrch tělesa rozdělen na elementární části nazývané pláty či záplaty (anglicky patch). Výsledná plocha tělesa se získá navázáním těchto plátů na sebe. Každý z plátů je přitom vyjádřen takzvanou bodovou rovnicí zmíněnou výše. V současné počítačové grafice se nejčastěji používají bodové rovnice, které jako své bázové funkce obsahují polynomy nízkého stupně, protože tyto jsou snadno diferencovatelné a lze provádět rychlé výpočty hodnot těchto funkcí pomocí Hornerova schématu, ve kterém jsou použity pouze jednoduché a rychlé operace sčítání a násobení (ve skutečnosti se však používají i další algoritmy vhodné pro realizaci na GPU).

Obrázek 4: Plát popsaný bodovou funkcí.

Podobně jako v případě parametrických křivek je možné i u parametrických ploch zapsat bodovou funkci parametrické plochy Q(u, v) s parametry u a v:
Q3D(u, v)=[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]

Kde x(u,v), y(u,v) a z(u,v) jsou (vybrané) funkce dvou parametrů u a v. Tyto parametry mohou nabývat hodnot z rozsahu 0 až 1. Jinými slovy znamená zápis bodové funkce fakt, že bodu o souřadnicích [u, v] v prostoru parametrickém (což je plocha) odpovídá bod o souřadnicích [x, y, z] v trojrozměrném prostoru.

Poznámka: jak uvidíme v navazujících článcích, není nutné, aby parametry (resp. jejich hodnoty) rostly rovnoměrně, protože díky knot-vectoru (uzlovému vektoru) je možné pro každé rozmezí dvou řídicích bodů zvolit jiný rozsah hodnot a tím i míru růstu hodnot parametrů. Míra může být dokonce nulová, čehož se někdy používá při tvorbě ostrých zlomů. Tento způsob se používá u NURB křivek a ploch.

Obrázek 5: Detail modelu vytvořeného z parametrických ploch (konkrétně NURBS).

Na parametrickou plochu se můžeme dívat jako na množinu bodů vzniklou tažením křivky po určité trajektorii. Tato křivka při svém pohybu může měnit tvar. Z bodové rovnice lze jednoduše vyjádřit rovnice tečných vektorů ve směrech parametrů u a v k ploše Q(u, v) a z těchto dvou vektorů vypočítat normálu k povrchu:
n=(qu x qv) / |qu x qv|

Kde x znamená operaci vektorového součinu.

Poznámka: tečné vektory se používají ve dvou případech: pro výpočet normálového vektoru (pomocí normálového součinu dvou tečných vektorů, jednoho ve směru růstu parametru u a druhého ve směru růstu parametru v, viz vzorec výše) a taktéž zajištění hladkého napojení jednotlivých plátů, což je opět velmi důležité, jak v 3D grafice, tak i v CAD/CAM.

Obrázek 6: Modely těles vytvořené z NURBS.

5. Popis křivky implicitní funkcí typu F(x,y)=0

Kromě popisu křivky explicitní funkcí nebo bodovou funkcí je možné křivky popsat takzvanou funkcí implicitní, která se zapisuje ve tvaru:

F(x,y)=0

V porovnání s předchozí dvojicí popisů křivek je popis implicitní funkcí obecnější, neboť s jeho využitím můžeme reprezentovat křivky obsahující několik samostatných cest apod. Následuje příklad implicitní funkce popisující mj. i všechny kuželosečky (záleží pouze na výběru koeficientů A až F):

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

Poznámka: mimochodem – v tomto případě se jedná o algebraické křivky, neboť je lze popsal polynomem, a to jak v parametrické podobě, tak i v případě implicitní funkce. Mnohé křivky ovšem pomocí polynomů vyjádřit nelze. Tyto křivky nazýváme transcendentní.

Poměrně velký význam má zobecnění křivek zadaných implicitní funkcí na plochy reprezentované funkcí:

F(x,y,z)=0

Tento způsob reprezentace totiž umožňuje relativně snadný výpočet průsečíku paprsku s plochou, takže se tento způsob používá v raytracerech.

Obrázek 7: Implicitní plochy jsou použité pro reprezentaci těles nazývaných „metaballs“.

Obrázek 8: Další možnosti popisu těles implicitními plochami.

6. Superelipsy

Superelipsa je křivka, která vznikla zobecněním běžné elipsy (ovšem zobecněním elipsy vznikly i další křivky). Parametricky lze klasickou elipsu se středem ležícím v počátku souřadné soustavy a s poloměry obou poloos rx a ry (někdy se označují a a b) popsat dvojicí rovnic s jedním nezávislým parametrem φ, který nabývá hodnot z rozsahu 0..2π. Konkrétní tvar těchto vzorů vypadá následovně:

x(φ) = rxcos(φ)
y(φ) = rysin(φ)

U parametrických rovnic superelipsy je navíc funkce sinus a kosinus umocněna zadanou konstantou n>1, pomocí níž lze dále tvar superelipsy vhodným způsobem modifikovat:

x(φ) = rxcosn(φ)
y(φ) = rysinn(φ)

Elipsu je kromě parametrického tvaru popsat také jedinou implicitní funkcí, která vyjadřuje podmínku platnou pro všechny body ležící na elipse:

f(x,y) = (x/rx)2+(y/ry)2-1 = 0

Totéž lze samozřejmě provést i u superelipsy, a to takto:

f(x,y) = (x/rx)2/n+(y/ry)2/n-1 = 0

Zajímavé je, jak se pomocí konstanty n dá měnit tvar výsledné superelipsy:

Hodnota n Výsledný tvar Tvar pro rx=ry
0 obdélník čtverec
<1 zaoblený obdélník zaoblený čtverec
1 elipsa kružnice
2 diamant diamant
>2 hvězda hvězda
>>2 limitně tvar kříže
Poznámka: hodnota n=3 vede k vytvoření křivky, která má samostatné jméno – astroida (astroid).

Obrázek 9: Postupná změna tvaru superelipsy s rostoucí hodnotou n.

Superelipsu, tedy rovinný útvar, je možné rozšířit do 3D prostoru, čímž vznikne superelipsoid. Na následujícím obrázku je vykresleno několik superelipsoidů, každý s odlišnými koeficienty, které určují jeho přesný tvar:

Obrázek 10: Superelipsoidy.

7. Křivky vzniklé odvalováním kružnice – cykloidy, epicykloidy a hypocykloidy

Velmi důležitou skupinou křivek jsou křivky, které vzniknou odvalováním kružnice na jiném tvaru, typicky na úsečce či na jiné kružnici. Při odvalování přitom křivku „kreslí“ bod, který se nachází buď přímo na této kružnici, nebo na polopřímce vycházející ze středu této kružnice (může se nacházet jak uvnitř, tak i vně). Tyto křivky obsahují ve svém názvu slovo „cycloid“.

Základní křivkou tohoto typu je cykloida. Ta vzniká odvalováním kružnice po úsečce tak, jak je to naznačeno na další animaci:

Obrázek 11: Animace vzniku cykloidy.

Cykloida byla taktéž nazývána „Helena geometrů“, což je narážka na Helenu Trojskou, protože se na začátku novověku o cykloidě vedly časté hádky. Cykloida byla pravděpodobně známá již ve starověku, ovšem o její pojmenování se zapříčinil až Galileo Galilei. Zajímavé je, že sice jak úsečka, tak i kružnice jsou křivkami algebraickými, samotná cykloida je ovšem transcendentní – nelze tedy vyjádřit polynomem, ale pomocí goniometrických funkcí:

x=r(t-sin t)
y=r(1-cos t)

Cykloidy se používají například při návrhu mostních oblouků, protože unesou největší zatížení. Ovšem tato křivka má i mnohem zajímavější vlastnosti. Například brachistochrona, tedy křivka nejkratšího spádu, je ve skutečnosti tvořena částí oblouku cykloidy (pokud pustíme kuličku po této dráze, dosáhne cíle rychleji, než po jakékoli jiné dráze):

Obrázek 12: Brachistochrona.

Stejně tak je cykloida základem pro další křivku nazvanou tautochrona. Pokud pustíme více kuliček z různých startovních bodů na křivce, dosáhnou cíle ve shodném čase.

Obrázek 13: Tautochrona.

Další zajímavé křivky vzniknou odvalováním kružnice po jiné kružnici, přičemž křivku opět kreslí bod ležící na odvalované kružnici. Existují dva typy těchto křivek, které se liší tím, zda se kružnice odvaluje vně či uvnitř druhé (statické) kružnice. První typ se jmenuje epicykloida, druhý hypocykloida. S vlastnostmi těchto křivek se setkáme v praktické části dnešního článku.

8. Epitrochoidy a hypotrochoidy – křivky z grafické pomůcky Inspiro/Spirograph

Cykloidních křivek existuje velké množství, ovšem zmínit se musíme zejména o epitrochoidě a hypotrochoidě. Jedná se o zobecnění epicykloidy popř. hypotrochoidy – bod kreslicí křivku není v tomto případě umístěn přímo na odvalující se kružnici, ale buď uvnitř či naopak vně této kružnice. Tyto typy křivek je možné kreslit s využitím pomůcky, které se u nás prodávala pod názvem Inspiro, ve světě pak pod názvem Spirograph. Princip obou pomůcek je jednoduchý – používá se soustava dvou ozubených kol (nebo mezikruží), přičemž jedno z těchto kol je pevně umístěno na papír a druhé se může odvalovat okolo něj. Přitom je možné vybrat otvor uvnitř ozubeného kola, do kterého se vloží propiska či fixa, která obrazec s křivkou při troše snahy vykreslí.

Obrázky této pomůcky, která mě poprvé přivedla k fascinaci křivkami.

9. Lissajousovy obrazce

Další důležitá křivka, která nachází své využití například při analýze periodických signálů, je Lissajousova křivka, taktéž známá pod názvem Lissajousovy obrazce. Tato křivka je popsána bodovou rovnicí:

x=Asin(at+δ)
y=Bsin(bt)

kde koeficienty A, B, a, b a taktéž δ ovlivňují výsledný tvar křivky. Lissajousovu křivku dokáže vykreslit například osciloskop, když na jeho horizontální vychylovací destičky přivedeme jeden harmonický signál (například běžnou sinusovku) a na vertikální vychylovací destičky signál druhý (generátor časové základny je tedy vypnut). V případě, že oba signály mají shodnou frekvenci, je možné snadno změřit rozdíl ve fázi obou signálů – pokud je fáze nulová, vykreslí se kružnice, jinak elipsa. Taktéž lze velmi snadno vizuálně (bez nutnosti odečítat číselné hodnoty) porovnat frekvence signálů – kružnice či elipsa znamená shodnou frekvenci, každá změna se ihned vizuálně projeví. Podobně signály, jejichž poměr frekvencí se liší například 2×, o koeficient 3/2, 6/8 atd. jsou zobrazeny stylem, z něhož lze poměr mezi frekvencemi jednoduše vyčíst.

Obrázek 14: Lissajousův obrazec zobrazený na osciloskopu.

10. Praktická část článku

Praktická část dnešního článku je zaměřena na využití kombinace programovacího jazyka Python a knihoven Matplotlib společně s Numpy pro vykreslení křivek zadaných parametricky popř. implicitní funkcí. Jedná se prozatím o úvod do celé problematiky, takže i demonstrační příklady jsou prozatím velmi jednoduché (ostatně podobně jako minule) – „raketovou vědou“ související s problematikou křivek se budeme zabývat někdy příště.

Podrobnější informace o Matplotlibu a knihovně Numpy naleznete v těchto článcích:

  1. Tvorba grafů v Jupyter Notebooku s využitím knihovny Matplotlib
    https://www.root.cz/clanky/tvorba-grafu-v-jupyter-notebooku-s-vyuzitim-knihovny-matplotlib/
  2. Tvorba grafů v Jupyter Notebooku s využitím knihovny Matplotlib (dokončení)
    https://www.root.cz/clanky/tvorba-grafu-v-jupyter-notebooku-s-vyuzitim-knihovny-matplotlib-dokonceni/
  3. Vykreslování grafů do framebufferu Raspberry Pi s použitím knihoven Pygame a Matplotlib
    https://mojefedora.cz/vykreslovani-grafu-do-framebufferu-raspberry-pi-s-pouzitim-knihoven-pygame-a-matplotlib/
  4. Slajdy z prezentace o knihovně Numpy
    https://raw.githubusercon­tent.com/tisnik/presentati­ons/4d867531ac5373d906dc08­f9a2750a44ecf693f0/linuxda­ys2019/numpy/numpy.txt
foobar

Obrázek 15: Jak uvidíme v navazujících článcích, je možné s využitím Matplotlibu vykreslit i křivku v 3D prostoru. Mimochodem – takto křivka je dosti zvláštní a nazývá se „podivný atraktor“. Podrobnosti o tomto fenoménu, který můžeme nalézt i v přírodě, si řekneme příště.

11. Superelipsy

Se superelipsami a částečně též se superelipsoidy jsme se setkali v šesté kapitole. Známe již tedy jak parametrický popis superelipsy, tak i její popis implicitní funkcí. Prozatím si ukazujeme vykreslení křivek zadaných parametricky, což dodržíme i v případě superelips. Následující skript vykreslí superelipsu, jejíž koeficient n ovlivňující její tvar je nastaven na jedničku. To vlastně znamená, že z původního parametrického popisu:

x(φ) = rxcosn(φ)
y(φ) = rysinn(φ)

Dostaneme po dosazení n=1 běžnou elipsu:

x(φ) = rxcos(φ)
y(φ) = rysin(φ)

Skript vypadá následovně:

"""Parametrická křivka: superelipsa."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.1)
 
# poloměry superelipsy v osách
a = 3.0
b = 3.0
 
# určení tvaru křivky
n = 1
 
# výpočet bodů ležících na elipse
x = a*(np.cos(t) ** n)
y = b*(np.sin(t) ** n)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Superelipsa', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-4, 4)
ax.set_ylim(-3, 3)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("superellipse1.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 16: Superelipsa s koeficientem n=1.

Naopak po dosazení koeficientu n=3 bude výsledná superelipsa vypadat zcela odlišně:

"""Parametrická křivka: superelipsa."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.1)
 
# poloměry superelipsy v osách
a = 3.0
b = 3.0
 
# určení tvaru křivky
n = 3
 
# výpočet bodů ležících na elipse
x = a*(np.cos(t) ** n)
y = b*(np.sin(t) ** n)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Superelipsa', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-4, 4)
ax.set_ylim(-3, 3)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("superellipse2.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 17: Superelipsa s koeficientem n=3.

12. Cykloida

Každý bod na plášti kola (pokud zanedbáme lokální deformaci pláště při styku s vozovkou) vykonává pohyb, který odpovídá cykloidě. Její tvar je závislý na jediném koeficientu – poloměru kružnice představující idealizované kolo. Po přepisu geometrického popisu křivky do parametrického tvaru získáme vzorce:

x = a*(t-sin(t))
y = a*(1-cos(t))

Ty je již možné snadno použít ve skriptu pro vykreslení cykloidy:

"""Parametrická křivka: cykloida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 3*np.pi, 0.1)
 
# poloměr kružnice
a = 1.0
 
# výpočet bodů ležících na cykloidě
x = a*(t-np.sin(t))
y = a*(1-np.cos(t))
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Cykloida', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# vrcholy na křivce (každý pátý)
ax.plot(x[::5], y[::5], 'ro')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("cycloid.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Výsledný graf s křivkou:

Obrázek 18: Základní tvar cykloidy.

13. Epicykloidy

Další křivky, o nichž jsme se zmínili v předchozích (teoretických) kapitolách, jsou epicykloidy. Tyto křivky lze vyjádřit parametricky, tedy bodovou funkcí:

x = (a+b)*cos(t)-b*cos((a/b+1)*t)
y = (a+b)*sin(t)-b*sin((a/b+1)*t)

kde koeficienty a a b určují tvar křivky (někdy se označují R a r), protože se jedná o poloměr „pevné“ kružnice a odvalující se kružnice. Důležitá je hodnota k vypočtená jako R/r. V případě, že je k celým číslem, odvalí se menší kružnice k-krát po větší kružnici. Pokud se jedná o číslo racionální (zlomek), bude se křivka protínat a vznikne „květ“. V případě, že poměr je číslo iracionální, bude se epicykloida dotýkat vnitřní kružnice pokaždé v jiném bodě.

Následuje ukázka epicykloidy s koeficienty 8 a 5, takže podílem vznikne racionální číslo. Hodnota parametru t leží v rozsahu 0 až 2πb:

"""Parametrická křivka: epicykloida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 10*np.pi, 0.01)
 
# koeficienty
a = 8
b = 5
 
# výpočet bodů ležících na křivce
x = (a+b)*np.cos(t)-b*np.cos((a/b+1)*t)
y = (a+b)*np.sin(t)-b*np.sin((a/b+1)*t)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Epicykloida', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-32, 32)
ax.set_ylim(-24, 24)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("epicyclodid1.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 19: Epicykloida s koeficienty 8 a 5.

Hustší „květ“ vznikne v případě, kdy se zvyšuje hodnota koeficientu a. Hodnota parametru t opět leží v rozsahu 0 až 2πb::

"""Parametrická křivka: epicykloida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 26*np.pi, 0.01)
 
# koeficienty
a = 11
b = 13
 
# výpočet bodů ležících na křivce
x = (a+b)*np.cos(t)-b*np.cos((a/b+1)*t)
y = (a+b)*np.sin(t)-b*np.sin((a/b+1)*t)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Epicyklodia', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-64, 64)
ax.set_ylim(-48, 48)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("epicyclodid2.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 20: Epicykloida s koeficienty 11 a 13.

14. Hypocykloidy

Hypocykloida je křivka, která vznikne odvalováním kružnice okolo další (pevné) kružnice, přičemž odvalující se kružnice se nachází uvnitř pevné kružnice. Tuto křivku lze popsat bodovou funkcí:

x=(R-r)cos φ + r cos((R-r/r)φ
y=(R-r)sin φ – r sin((R-r/r)φ

V jiných materiálech se namísto koeficientů R a r používají koeficienty a a b, parametr φ bývá nahrazen za běžnější t:

"""Parametrická křivka: hypocykloida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 6*np.pi, 0.01)
 
# koeficienty
a = 5
b = 3
 
# výpočet bodů ležících na křivce
x = (a-b)*np.cos(t)+b*np.cos((a/b-1)*t)
y = (a-b)*np.sin(t)-b*np.sin((a/b-1)*t)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Hypocykloida', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-8, 8)
ax.set_ylim(-6, 6)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("hypocycloid1.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 21: Hypocykloida s koeficienty a=5, b=3.

Ve skutečnosti nám ovšem nic nebrání v tom, aby „menší“ kružnice měla ve skutečnosti větší poloměr, i když to po geometrické stránce postrádá smysl:

"""Parametrická křivka: hypocykloida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 14*np.pi, 0.01)
 
# koeficienty
a = 2
b = 7
 
# výpočet bodů ležících na křivce
x = (a-b)*np.cos(t)+b*np.cos((a/b-1)*t)
y = (a-b)*np.sin(t)-b*np.sin((a/b-1)*t)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Hypocykloida', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-18, 18)
ax.set_ylim(-12, 12)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("hypocycloid2.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 22: Hypocykloida s koeficienty a=2, b=7.

15. Hypotrochoidy

Poslední „cykloidní“ funkcí, s níž se dnes v praktické části seznámíme, je hypotrochoida. Bodová funkce této křivky je nepatrně složitější, než tomu bylo u předchozích funkcí, protože je ještě zaveden nový koeficient d (neboli vzdálenost bodu, který křivku určuje, od středu kružnice):

x = (R-r)*cos(t)+d*cos(t * (R-r/r))
y = (R-r)*sin(t)-d*sin(t * (R-r/r))

Podívejme se nyní na první příklad hypotrochoidy:

"""Parametrická křivka: hypotrochoida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
 
# koeficienty
R = 5
r = 3
d = 5
 
# výpočet bodů ležících na křivce
x = (R-r)*np.cos(t)+d*np.cos(t * (R-r/r))
y = (R-r)*np.sin(t)-d*np.sin(t * (R-r/r))
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Hypotrochoida', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-12, 12)
ax.set_ylim(-9, 9)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("hypotrochoid.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 23: Hypotrochoida s koeficienty R=5, r=3 a d=5.

Další příklad, tentokrát s odlišnými koeficienty:

"""Parametrická křivka: hypotrochoida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
 
# koeficienty
R = 6
r = 1
d = 8
 
# výpočet bodů ležících na křivce
x = (R-r)*np.cos(t)+d*np.cos(t * (R-r/r))
y = (R-r)*np.sin(t)-d*np.sin(t * (R-r/r))
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Hypotrochoida', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-24, 24)
ax.set_ylim(-18, 18)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("hypotrochoid2.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 24: Hypotrochoida s koeficienty R=6, r=1 a d=8.

A konečně mezní případ, kdy d=2:

"""Parametrická křivka: hypotrochoida."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
 
# koeficienty
R = 3
r = 1
d = 2
 
# výpočet bodů ležících na křivce
x = (R-r)*np.cos(t)+d*np.cos(t * (R-r/r))
y = (R-r)*np.sin(t)-d*np.sin(t * (R-r/r))
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Hypotrochoida', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-6, 6)
ax.set_ylim(-4, 4)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("hypotrochoid3.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 25: Hypotrochoida s koeficienty R=3, r=1 a d=2.

Poznámka: povšimněte si, že ve všech třech příkladech se parametr t pohyboval v mezích 0 až 2π – nemuseli jsme ho tedy nijak modifikovat.

16. Lissajousovy obrazce

Lissajousova křivka popř. alternativně nazvaná Lissajousův obrazec se vykreslí snadno s využitím bodové rovnice odvozené od goniometrických funkcí sinus a kosinus tak, jak je to naznačeno v dalším demonstračním příkladu:

"""Parametrická křivka: Lissajousův obrazec."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# hodnoty parametru t
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.02)
 
# poloměry v osách
a = 3.0
b = 3.0
 
# koeficienty
kx = 3
ky = 2
 
# výpočet bodů ležících na obrazci
x = a*np.cos(kx*t)
y = b*np.sin(ky*t)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Lissajousův obrazec', fontsize=15)
 
# určení rozsahů na obou souřadných osách
ax.set_xlim(-4, 4)
ax.set_ylim(-3, 3)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(x, y, 'g-')
 
# vrcholy na křivce (každý čtvrtý)
ax.plot(x[::4], y[::4], 'ro')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("lissajous.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

S tímto výsledkem:

Obrázek 26: Lissajousův obrazec.

17. Křivky zadané implicitní funkcí

Křivky zadané implicitní funkcí je možné zobrazit i s využitím knihovny Matplotlib, i když pro tento typ zobrazení (zdánlivě) neexistuje přímá podpora. Pro vykreslení implicitně zadaných křivek je možné použít graf s konturami (contour), v němž zvolíme, že nás zajímá pouze kontura pro hodnotu 0, protože právě nula je na pravé straně rovnice s implicitní funkcí. Celý postup je ukázán v navazující kapitole, ovšem podrobnější popis si necháme až na příště.

18. Vykreslení implicitně zadaných křivek

Skript, který vykreslí křivku zadanou implicitní funkcí, může vypadat následovně. Podrobnosti si řekneme v dalším článku:

Tip do článku - root - cybersecurity

"""Implicitně zadaná křivka."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# příprava vektorů pro konstrukci mřížky
x = np.linspace(-3, 3, 50)
y = np.linspace(-3, 3, 50)
 
# konstrukce mřížky
x, y = np.meshgrid(x, y)
 
# implicitní funkce
z = x**2-2*x*y+y**2-2*x
 
# hodnoty, které se mají zvýraznit na isoploše
levels = np.arange(1, 5, 0.5)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8))
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Implicit curve', fontsize=15)
 
# vykreslení implicitní funkce
ax.contour(x, y, z, levels)
 
# zobrazit mřížku
ax.grid(True)
 
# zachovat poměr stran
ax.axis('scaled')
 
# popisek os
plt.xlabel('Osa x')
plt.ylabel('Osa y')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("implicit.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 27: Křivky zadané implicitní funkcí.

19. Repositář s demonstračními příklady

Všechny minule i dnes popisované demonstrační příklady určené pro Python 3 a knihovnu Matplotlib byly uloženy do Git repositáře, který je dostupný na adrese https://github.com/tisnik/pre­sentations. Příklady si můžete v případě potřeby stáhnout i jednotlivě bez nutnosti klonovat celý (dnes již poměrně rozsáhlý) repositář:

# Příklad Popis Adresa
1 line.py úsečka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/line.py
2 parabola.py parabola https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parabola.py
3 hyperbola.py hyperbola https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hyperbola.py
4 ellipse_parametric.py parametricky zadaná elipsa https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/ellipse_parametric.py
5 ellipse_general.py obecná elipsa https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/ellipse_general.py
6 circle_parametric.py parametricky zadaná kružnice https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/circle_parametric.py
7 circle_polar.py polární souřadnice při kreslení kružnice https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/circle_polar.py
8 archimedes_spiral.py Archimédova spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/archimedes_spiral.py
9 fermats_spiral.py Fermatova spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/fermats_spiral.py
10 hyperbolic_spiral.py Hyperbolická spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hyperbolic_spiral.py
11 logarithmic_spiral.py Logaritmická spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/logarithmic_spiral.py
12 parabola_catenary1.py parabola vs. řetězovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parabola_catenary1.py
13 parabola_catenary2.py parabola vs. řetězovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parabola_catenary2.py
14 cardioid.py srdcovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/cardioid.py
15 catenary.py řetězovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/catenary.py
17 fresnel.py Fresnelův integrál https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/fresnel.py
19 lissajous.py Lissajousův obrazec https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/lissajous.py
       
20 superellipse1.py superelipsa https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/superellipse1.py
21 superellipse2.py superelipsa, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/superellipse2.py
22 cycloid.py cykloida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/cycloid.py
23 epicycloid1.py epicykloida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/epicycloid1.py
24 epicycloid2.py epicykloida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/epicycloid2.py
25 hypocycloid1.py hypocykloida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypocycloid1.py
26 hypocycloid2.py hypocykloida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypocycloid2.py
27 hypotrochoid1.py hypotrochoida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypotrochoid1.py
28 hypotrochoid2.py hypotrochoida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypotrochoid2.py
29 hypotrochoid3.py hypotrochoida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypotrochoid3.py
30 implicit/implicit.py křivka zadaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/implicit.py

20. Odkazy na Internetu

  1. Famous Curves Index
    https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/
  2. Curve (Wikipedia)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Curve
  3. Mathematical curves
    https://www.2dcurves.com/index.html
  4. Curves (Wolfram MathWorld)
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/Curves.html
  5. Smooth Curve (Wolfram MathWorld)
    https://mathworld.wolfram­.com/SmoothCurve.html
  6. Spirals (Wolfram MathWorld)
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/Spirals.html
  7. An Interactive Introduction to Splines
    https://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm
  8. Parabola
    https://www.2dcurves.com/co­nicsection/conicsectionp.html
  9. Hyperbola
    https://www.2dcurves.com/co­nicsection/conicsectionh.html
  10. Dioklova kisoida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Dioklova_kisoida
  11. Archimédova spirála
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Archim%C3%A9dova_spir%C3%A1la
  12. Conchoid (mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Conchoid_(mathematics)
  13. Algebraic curve
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Algebraic_curve
  14. Transcendental curve
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Transcendental_curve
  15. Spiral
    https://en.wikipedia.org/wiki/Spiral
  16. List of spirals
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/List_of_spirals
  17. Hyperbolická spirála
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Hyperbolick%C3%A1_spir%C3%A1la
  18. Hyperbolic Spiral
    https://mathworld.wolfram­.com/HyperbolicSpiral.html
  19. Lituus (mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Lituus_(mathematics)
  20. Spiral of Spirals Fractals 2 with Python Turtle (Source Code)
    https://pythonturtle.academy/spiral-of-spirals-fractals-2-with-python-turtle-source-code/
  21. Cornu Spiral
    http://hyperphysics.gsu.e­du/hbase/phyopt/cornu.html
  22. Spiral
    https://www.2dcurves.com/spi­ral/spiral.html
  23. Algebraic Curves
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/AlgebraicCurves­.html
  24. Elliptic Curves
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/EllipticCurves­.html
  25. Eukleidovská konstrukce
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Eukleidovsk%C3%A1_konstruk­ce
  26. Euclidean Constructions
    http://www.cs.cas.cz/portal/Al­goMath/Geometry/PlaneGeome­try/GeometricConstruction­s/EuclideanConstructions.htm
  27. Kvadratura kruhu
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Kvadratura_kruhu
  28. Trisekce úhlu
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Trisekce_%C3%BAhlu
  29. Straightedge and compass construction
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Straightedge_and_compas­s_construction
  30. C.a.R.
    http://car.rene-grothmann.de/doc_en/index.html
  31. CaRMetal (Wikipedia)
    https://en.wikipedia.org/wiki/C.a.R.
  32. CaRMetal (Španělsky a Francouzsky)
    http://carmetal.org/index.php/fr/
  33. CaRMetal (Wikipedia)
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/CaRMetal
  34. Regular Polygon
    http://mathforum.org/dr.mat­h/faq/formulas/faq.regpoly­.html
  35. Geometric Construction with the Compass Alone
    http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml
  36. Kvadratura kruhu (Wikipedie)
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Kvadratura_kruhu
  37. Compass equivalence theorem
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Compass_equivalence_the­orem
  38. Curves we (mostly) don't learn in high school (and applications)
    https://www.youtube.com/wat­ch?v=3izFMB91K_Q
  39. Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Menaechmus' Constructions
    https://www.maa.org/press/pe­riodicals/convergence/can-you-really-derive-conic-formulae-from-a-cone-menaechmus-constructions
  40. Apollonius of Perga
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Apollonius_of_Perga
  41. Catenary arch
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Catenary_arch
  42. Parabolic arch
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Parabolic_arch
  43. Wattova křivka
    https://www.geogebra.org/m/gNh4bW9r
  44. Model stegosaura byl získán na stránce
    http://www.turbosquid.com/HTMLCli­ent/FullPreview/Index.cfm/ID/171071/Ac­tion/FullPreview
  45. Obrázek nohy dinosaura byl získán na adrese
    http://perso.wanadoo.fr/ri­masson/3d/leg.htm
  46. Spirograph
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Spirograph
  47. Epicykloida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Epicykloida
  48. Hypocykloida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Hypocykloida
  49. Hypotrochoida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Hypotrochoida
  50. Superelipsoidy a kvadriky v POV-Rayi
    https://www.root.cz/clanky/su­perelipsoidy-a-kvadriky-v-pov-rayi/
  51. Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions, And a Few Answers
    https://elepa.files.wordpres­s.com/2013/11/fifty-famous-curves.pdf
  52. Barr, A.H.: Superquadrics and Angle Preserving Transformations,
    IEEE Computer Graphics and Applications, January 1981
  53. Bourke Paul: Quadrics,
    July 1996
  54. Bourke Paul: Superellipse and Superellipsoid,
    January 1990
  55. Faux, I.D. a Pratt, M.J.: Computational Geometry for Design and Manufacture,
    Ellis Horwood Ltd., Wiley & Sons, 1979
  56. Wallace A.: Differential Topology,
    Benjamin/Cummings Co., Reading, Massachussetts, USA, 1968
  57. Glossary of Bridge Terminology
    http://sdrc.lib.uiowa.edu/en­g/bridges/WaddellGlossary/Glos­sC.htm
  58. Brachistochrona
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Brachistochrona

Autor článku

Pavel Tišnovský vystudoval VUT FIT a v současné době pracuje ve společnosti Red Hat, kde vyvíjí nástroje pro OpenShift.io.