Hlavní navigace

Křivky v přírodě i v počítačové grafice – svět spirál

14. 9. 2021
Doba čtení: 45 minut

Sdílet

 Autor: Wikipedia, podle licence: CC-BY-SA
Spirály se v různé podobě objevují na mnoha místech v přírodě, a to jak v malých škálách (ulity, popínavé rostliny), tak i na škálách odpovídajících planetám (víry v atmosféře) či dokonce celým galaxiím (spirální galaxie).

Obsah

1. Křivky v přírodě i v počítačové grafice – svět spirál

2. Vykreslování spirál v Pythonu

3. Triviální spirála

4. Archimédova spirála

5. Logaritmická spirála

6. Hyperbolická spirála

7. Atomická spirála

8. Korektní vykreslení atomické spirály – zpracování záporných hodnot vzdáleností od středu

9. Fermatova spirála

10. Lituus

11. Spirály v systémech iterovaných funkcí (IFS)

12. Algoritmus náhodné procházky

13. Implementace algoritmu náhodné procházky v Pythonu

14. Spirály v IFS

15. Spirály ve slavné Mandelbrotově množině

16. Elephant valley

17. Seahorse valley a West seahorse valley

18. Triple spiral valley a Quad spiral valley

19. Repositář s demonstračními příklady

20. Odkazy na Internetu

1. Křivky v přírodě i v počítačové grafice – svět spirál

Spirály, o nichž jsme se krátce zmínili i v úvodním článku tohoto seriálu, se v různé podobě objevují na mnoha místech v přírodě, a to jak v malých škálách (příkladem mohou být například ulity, popínavé rostliny), tak i na škálách odpovídajících planetám (víry v atmosféře) či dokonce celým galaxiím (spirální galaxie). Některé konkrétní spirály, typicky logaritmické spirály s koeficientem odpovídajícím zlatému řezu, vznikají jako důsledek snahy o (lokální) optimalizace nějakých procesů (ale ostatně i víry jsou tvary vzniklé tak, aby v co největší míře optimalizovaly proudění resp. tok hmoty v daném směru).

Obrázek 1: Stonek kapradiny zatočený do spirály.

Spirály namalované, vytesané či vymodelované lidmi můžeme nalézt již v prehistorii, například vyryté na kamenech ve slavném Newgrange (ale zdaleka nejenom tam). Jejich systematické studium ovšem začalo – ostatně kde jinde – v antickém Řecku. V tomto kontextu je důležité především dílo „O závitnicích“ (Περι ελικων), které sepsal Archimédes. Po něm je ostatně pojmenována i Archimédova spirála, s níž se setkáme ve třetí kapitole. A pochopitelně nesmíme zapomenout na použití spirál v architektuře; asi nejznámějším příkladem jsou hlavice Iónského řádu.

Obrázek 2: Vír v atmosféře ve tvaru takřka dokonalé spirály.

Velmi důležitý byl objev logaritmické spirály nazývané taktéž Spira Mirabilis. Tuto spirálu poprvé popsal Albrech Dürer, zabývali se jí i René Descartes a později i Jacob Bernoulli (tedy samá slavná jména). Tuto křivku nalezneme i na mnoha místech v přírodě (a to na široké škále). Například jí odpovídají již v úvodním odstavci zmíněná ramena spirálních galaxií, tropických cyklón, schránky některých měkkýšů, dráha, po které se hmyz pohybuje k bodovému světlu atd. Tuto spirálu nalezneme (opět ve všech škálách) i v Mandelbrotově množině, což je téma, kterému se dnes budeme taktéž věnovat.

Obrázek 3: Spirálovitý minaret v Samaře.

Z matematického pohledu je spirála křivka, která obíhá pevně daný ústřední bod (zvaný též pól spirály) a přitom se od tohoto bodu soustavně vzdaluje (důležité je zde přitom slovo „soustavně“, které dosti podstatným způsobem omezuje, co je a co už není spirála). Existují ovšem i spirály, které tomuto popisu zcela přesně neodpovídají, například proto, že mají dvě ramena nebo jsou založeny na přibližně eliptickém tvaru (vzdalující se Měsíc apod.). Mezním případem je potom triviální spirála neboli klasická kružnice.

Obrázek 4: Spirály v klasických sloupových řádech.

Obrázek 5: Šnečí ulita.

2. Vykreslování spirál v Pythonu

Vykreslování prakticky všech běžných spirál můžeme provést s využitím knihovny Matplotlib, s níž jsme se již v tomto seriálu setkali. Navíc si vypomůžeme funkcemi z knihovny Numpy. Princip je jednoduchý – víme již, že spirála je křivka, která obíhá pevně daný ústřední bod. Trajektorii tohoto oběhu lze pochopitelně popsat mnoha různými způsoby, například v běžné kartézské souřadné soustavě apod. Ovšem mnohem jednodušší je využít polárních souřadnic, v nichž je souřadnice bodu popsána úhlem a vzdáleností od středu. To však pro některé typy spirál nebude dostačovat, a to z toho důvodu, že je nutné správně pracovat i s body, jejichž vzdálenost od středu je „záporná“ (což je z matematického pohledu nesmysl – vzdálenost neboli metrika, je vždy nezáporná). Záporné vzdálenosti – jakkoli zní nesmyslně – budeme proto z geometrického hlediska považovat za zápis souřadnice bodu, který je okolo počátku otočen o 180°. Tyto speciální případy je ovšem nutné ošetřit i programově, což ostatně uvidíme i v některých dalších demonstračních příkladech, například u atomické spirály.

Vraťme se však ke knihovnám Matplotlib a Numpy. Budeme vykreslovat křivku, jejíž koncový bod bude obíhat okolo počátku a přitom bude křivka popsána funkcí:

r = f(θ)

a to pochopitelně v polárních souřadnicích.

Nejprve si tedy vytvoříme vektor hodnot θ. Nemusíme se přitom omezovat na rozsah úhlů od 0 do 2π, neboť u některých spirál budeme chtít vykreslit větší množství závitů. Připravíme si tudíž vektor například pro čtyři závity:

# počet bodů na spirále
points = 150
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(0.0, 8*np.pi, points)

Nějakým způsobem, který se bude lišit podle typu spirály, vypočítáme vzdálenosti od středu:

# funkce: vzdálenost od středu
radius = f(theta)

Dále vytvoříme objekt reprezentující graf:

# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})

Vykreslíme do prozatím prázdného grafu spirálu:

# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'g-')

Graf následně uložíme do souboru a zobrazíme:

# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("some_interesting_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

3. Triviální spirála

O takzvané triviální spirále jsme se již ve stručnosti zmínili v úvodní kapitole. Jedná se o mezní případ spirály, kdy bod tvořící svým pohybem křivku sice obíhá okolo pólu spirály, ovšem ani se od něj nevzdaluje, ani nepřibližuje. Lze ji tedy vyjádřit rovnicí:

r = a

kde a je koeficient triviální spirály určující vzdálenost každého jejího bodu od pólu spirály.

Výsledkem je pochopitelně běžná kružnice, kterou lze výše uvedeným postupem pro vykreslení spirály zkonstruovat a zobrazit následujícím způsobem:

"""Triviální spirála - kružnice."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# počet bodů na spirále
points = 150
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(0.0, 8*np.pi, points)
 
# funkce: vzdálenost od středu
radius = np.full(shape=points, fill_value=1)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Triviální spirála', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("trivial_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Výsledek po spuštění tohoto jednoduchého demonstračního příkladu bude vypadat následovně:

Obrázek 6: Triviální spirála neboli kružnice vykreslená demonstračním příkladem z této kapitoly.

4. Archimédova spirála

První „skutečnou“ spirálou, s níž se v dnešním článku seznámíme, je známá Archimédova spirála. Tvar této spirály byl sice používán již v prehistorické době, ovšem její první nám známý historický popis pochází od Archiméda, který se o této spirále zmiňuje v důležité knize „O spirálách“ („O závitnicích“) pocházející z roku 225 př.n.l. – „Otáčí-li se přímka v rovině stejnoměrnou rychlostí kolem svého počátku, který nehybným zůstává, a pohybuje-li se v ní zároveň, z počátku vycházeje, bod rychlostí též stejnoměrnou, opisuje bod tento závitnici.“ Mimochodem – výše zmíněné dílo „O spirálách“ je dosti zásadním počinem v matematické literatuře, protože kromě Archimédovy spirály se zde zmiňuje problematika kvadratury kruhu a nalezneme zde i stať o trisekci úhlu, tedy o klasických problémech starořecké geometrie. Vraťme se však k samotné Archimédově spirále. Její tvar je možné popsat v polárních souřadnicích snadno zapamatovatelnou rovnicí:

r = a θ

přičemž koeficient spirály a je ostře větší než nula.

Takto definovaná spirála prochází pólem spirály, kterým je počátek souřadné soustavy. Taktéž stojí za povšimnutí, že pokud vyšleme z pólu spirály paprsek libovolným směrem, bude protínat spirálu v bodech, jejichž vzdálenosti od pólu tvoří aritmetickou posloupnost, neboli že vzdálenosti mezi závity jsou konstantní. Někdy se můžeme setkat se zobecněním této spirály tak, že nebude procházet pólem spirály:

r = a θ + b

V tomto případě druhý z koeficientů b určuje vzdálenost počátku spirály od jejího pólu.

Archimédovu spirálu lze vykreslit tímto skriptem:

"""Archimedova spirála."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# počet bodů na spirále
points = 150
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(0.01, 8*np.pi, points)
 
# funkce: vzdálenost od středu
radius = theta
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Archimedova spirála', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("archimedes_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

S výsledkem:

Obrázek 7: Archimédova spirála.

5. Logaritmická spirála

Dalším velmi důležitým typem spirály je logaritmická spirála. Jedná se o křivku, jejíž poloměr roste exponenciálně s velikostí úhlu θ. Tvar této spirály je možné v polárních souřadnicích vyjádřit rovnicí:

r = a e

kde a a b jsou koeficienty logaritmické spirály. Paprsek vycházející z pólu logaritmické spirály protíná spirálu v bodech, jejichž vzdálenosti od pólu tvoří geometrickou posloupnost (naproti tomu již víme, že u Archimédovy spirály se jedná o posloupnost aritmetickou).

Poznámka: název „logaritmická spirála“ vznikl z alternativního zápisu rovnice této spirály: ln(r/a) = bθ.

Poměrně velké množství tvarů v přírodě lze popsat logaritmickou spirálou. O těchto tvarech jsme se již zmiňovali v úvodní kapitole, takže jen v krátkosti: tento tvar mají ulity některých měkkýšů, víry, ramena spirálních galaxií apod. Tuto spirálu poprvé popsal Albrech Dürer, zabývali se jí i René Descartes a později i Jacob Bernoulli (tedy samá slavná jména). A právě Jacob Bernoulli ji nazval Spira mirabilis. Dnes se tato spirála používá při návrhu spirálních antén, které při relativně malých rozměrech dokážou přijímat/vysílat v širokém frekvenčním spektru.

Poznámka: známá „zlatá spirála“ vycházející z poměrů zlatého řezu, je ve skutečnosti logaritmickou spirálou, v níž je faktor růstu nastaven přímo na φ pro každou čtvrtinu otáčky okolo pólu spirály:

r = a e, kde b=ln φ/(π/2)

Skript pro vykreslení logaritmické spirály:

"""Logaritmická spirála."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# počet bodů na spirále
points = 150
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(0.01, 8*np.pi, points)
 
# koeficient spirály
k = 0.15
 
# funkce: vzdálenost od středu
radius = np.exp(k*theta)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Logaritmická spirála', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("logarithmic_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

S tímto výsledkem:

Obrázek 8: Logaritmická spirála.

6. Hyperbolická spirála

Další známou spirálou, s níž se v dnešním článku seznámíme, je hyperbolická spirála, která byla matematicky popsána v roce 1704 Pierrem Varignonem a posléze studována například i Johannem Bernoullim (ten se tedy zabýval studiem většího množství typů spirál). Tvar této spirály lze v polárních souřadnicích popsat touto rovnicí:

r = a / θ

Tato spirála se ve skutečnosti chová odlišně od běžných spirál, protože (pro nulový úhel θ) začíná v nekonečnu a postupně se přibližuje ke svému pólu, jenž neustále ovijí ve stále těsnějších smyčkách a pólu dosáhne pouze limitně.

Poznámka: při porovnání vztahů pro Archimédovu spirálu r = a θ a hyperbolickou spirálu r = a / θ pochopíme, proč se druhé ze spirál říká reciproční spirála.

Hyperbolická spirála může být vykreslena následujícím skriptem:

"""Hyperbolická spirála."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.arange(1.00, 50.0, 0.05)
 
a = 1.0
 
# funkce: inverzní vzdálenost od středu
radius = a/theta
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Hyperbolická spirála', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("hyperbolic_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

S následujícím výsledkem:

Obrázek 9: Hyperbolická spirála s jedním ramenem.

Vykreslit lze i hyperbolickou spirálu s oběma rameny, kde druhé rameno odpovídá záporným hodnotám úhlu θ:

"""Hyperbolická spirála."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.arange(1.00, 50.0, 0.05)
 
a = 1.0
 
# funkce: inverzní vzdálenost od středu
radius = a/theta
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Hyperbolická spirála - obě ramena', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'r-')
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(np.pi - theta, radius, 'b-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("hyperbolic_spiral_2.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Obrázek 10: Hyperbolická spirála s oběma rameny.

7. Atomická spirála

V roce 2002 byla představena atomická spirála. Ta je zajímavá tím, že má dvě asymptoty – jednou z nich je jednotková kružnice a druhou pak přímka θ = a. Atomická spirála je v polárních souřadnicích určena rovnicí:

r = θ / (theta – a)

Jedná se tedy o jakýsi hybrid mezi Archimédovou spirálou (θ v čitateli) a hyperbolickou spirálou (θ ve jmenovateli).

Podívejme se nyní na první verzi skriptu pro vykreslení atomické spirály:

"""Atomická spirála."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# počet bodů na spirále
points = 250
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(-6*np.pi, 6*np.pi, points)
 
# koeficient spirály
a = 1
 
# funkce: vzdálenost od středu
radius = theta / (theta - a)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Atomická spirála', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("atomic_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

S výsledkem:

Obrázek 11: Atomická spirála vykreslená předchozím skriptem.

8. Korektní vykreslení atomické spirály – zpracování záporných hodnot vzdáleností od středu

Ve skutečnosti obrázek číslo 11 neobsahuje korektní atomickou spirálu. Je tomu tak z toho důvodu, že z její rovnice pro některé hodnoty vstupního úhlu θ dostaneme záporné vzdálenosti od středu (resp. možná přesněji řečeno od pólu spirály). Knihovna Matplotlib v tomto případě upraví polární graf takovým způsobem, že se v jeho středu nebude nacházet bod se souřadnicí nula (a libovolným úhlem), ale naopak bod, jehož souřadnice bude nejmenší hodnota z vykreslované sekvence bodů (opět viz obrázek číslo 11).

Ovšem oprava skriptu není příliš složitá. Budeme pouze muset nahradit následující volání, ve kterém předáváme úhly a vzdálenosti od počátku polární souřadné soustavy:

# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta, radius, 'g-')

Za nepatrně upravené volání, v němž jsou vzdálenosti vždy kladné (np.abs) a současně se pro původní záporné vzdálenosti upraví úhel θ posunem o hodnotu π:

# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta + (radius<0)*np.pi, np.abs(radius), 'g-')

Upravený skript vypadá takto:

"""Atomická spirála."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# počet bodů na spirále
points = 150
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(-6*np.pi, 6*np.pi, points)
 
# koeficient spirály
a = 1
 
# funkce: vzdálenost od středu
radius = theta / (theta - a)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Atomická spirála', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta + (radius<0)*np.pi, np.abs(radius), 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("atomic_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

S výsledkem:

Obrázek 12: Korektní atomická spirála vykreslená předchozím skriptem.

9. Fermatova spirála

Další zajímavou spirálou je spirála objevená známým Pierre de Fermatem. Body ležící na této spirále splňují v polárních souřadnicích rovnici:

r2 = a2 θ

Odvozením získáme vztah pro hodnoty r:

r = ± a √θ

Tato spirála má tedy dvě ramena; jedno pro kladné hodnoty r, druhé pro záporné hodnoty (což je rameno se stejným tvarem, pouze otočené o 180°).

Poznámka: zajímavou vlastností této spirály je, že rozděluje rovinu na dvě oblasti se stejným tvarem. Tuto vlastnost lze zdůraznit tak, že jednu z těchto oblastí vybarvíme. Žádná z předchozích spirál tuto vlastnost nemá.

Skript pro vykreslení Fermatovy spirály vypadá následovně:

"""Fermatova spirála."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# počet bodů na spirále
points = 150
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(0, 4*np.pi, points)
 
# funkce: vzdálenost od středu
radius = np.sqrt(theta)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Fermatova spirála', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta + (radius<0)*np.pi, np.abs(radius), 'r-')
 
# druhá polovina křivky
ax.plot(np.pi + theta + (radius<0)*np.pi, np.abs(radius), 'b-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("fermat_spiral.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Výsledek získaný po spuštění tohoto příkladu:

Obrázek 13: Fermatova spirála.

10. Lituus

Poslední spirála vykreslená v polárních souřadnicích, s níž se dnes setkáme, se nazývá lituus, což je název odvozený od starořímské polnice. Tato spirála je v polárních souřadnicích popsána rovnicí:

r2 θ = k

Z tohoto vztahu lze opět odvodit funkci pro výpočet r:

r = ± √ k / √θ

Tato spirála má tedy opět dvě ramena; jedno pro kladné hodnoty r, druhé pro záporné hodnoty (což je rameno se stejným tvarem, pouze otočené o 180°).

Vykreslení jednoho ramena této spirály zajišťuje následující skript:

"""Lituus."""
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# počet bodů na spirále
points = 300
 
# úhel v polárním grafu
theta = np.linspace(0.1, 8*np.pi, points)
 
# koeficient spirály
k = 1
 
# funkce: vzdálenost od středu
radius = k / np.sqrt(theta)
 
# rozměry grafu při uložení: 640x480 pixelů
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6.4, 4.8), subplot_kw={'projection': 'polar'})
 
# titulek grafu
fig.suptitle('Lituus', fontsize=15)
 
# vrcholy na křivce pospojované úsečkami
ax.plot(theta + (radius<0)*np.pi, np.abs(radius), 'g-')
 
# uložení grafu do rastrového obrázku
plt.savefig("lituus.png")
 
# zobrazení grafu
plt.show()

Výsledek:

Obrázek 14: Lituus.

11. Spirály v systémech iterovaných funkcí (IFS)

Spirály můžeme snadno vytvořit i v systémech iterovaných funkcí, s nimiž jsme se seznámili v seriálu o fraktálech v počítačové grafice.

Název IFS systémů je odvozen z původního anglického označení Iterated Function System, česky lze tento název přeložit jako systém iterovaných funkcí. První publikace, které se týkaly IFS systémů, vydali už v roce 1985 Demko a následně pak v roce 1987 Michael Barnsley. Tvorba obrázků pomocí IFS systémů patří mezi generativní metody vytváření fraktálů, kterou řadíme mezi metody deterministické (viz popsané metody pro vytváření fraktálních objektů v komplexní rovině, které byly stručně uvedeny v předchozích dílech seriálu o fraktálech). Algoritmus pro generování IFS fraktálů však může být jak deterministický, tak nedeterministický (tj. stochastický – viz v dalších kapitolách uvedený algoritmus RWA).

Obrázek 15: Dvojrozměrný IFS systém vykazující základní znak fraktálů – soběpodobnost.

Jednou z možností, kde lze v počítačové grafice využít systémy IFS, je mj. i procedurální konstrukce třídimenzionálních objektů, například stromů či rostlin, s následnou možností jejich vizualizace či animace. V této oblasti se využívají jak systémy IFS, tak i L-systémy. Každá z těchto metod pro vytváření fraktálních obrazců se hodí pro jiný účel. Pomocí L-systémů lze vytvářet polygonové objekty nabízející možnost dalšího zpracování v CAD systémech či jejich vykreslování pomocí současných grafických akcelerátorů, například přes knihovnu OpenGL (Vulkan). Pomocí IFS systémů se naopak vytvoří jednotlivé pixely v rovině či body v prostoru. Body rozmístěné v prostoru lze pro účely dalšího zpracování a následného zobrazení na obrazovce považovat buď za neorientované částice (particles) nebo za prostorově orientované elementární plošky – surfely (surface element).

Obrázek 16: (Poměrně naivn) 3D scéna vytvořená pomocí IFS systémů.

Hlavním znakem většiny fraktálních útvarů je soběpodobnost. Pokud je fraktál soběpodobný, můžeme najít zobrazení, které transformuje (mapuje) celek na jednotlivé části. Iterace tohoto zobrazení má za výsledek konvergenci k atraktoru fraktálu. Systémy iterovaných funkcí jsou z matematického hlediska vlastně množiny několika zobrazení (resp. v rovině R2 či prostoru R3 transformacemi x->F(x); tyto transformace jsou většinou afinní). Celý IFS fraktál je poté popsán množinou několika zobrazení (transformací), které budeme označovat symboly φ1 až φn. Většinou se jedná o lineární transformace, tj. změnu měřítka, posun, rotaci a zkosení, v některých případech se však používají i transformace nelineární, jakými jsou ohyb, zkrut, zborcení apod.

Obrázek 17: Další známý dvojrozměrný soběpodobný IFS systém – Sierpinského trojúhelník.

12. Algoritmus náhodné procházky

Princip generování IFS fraktálu je v nejjednodušším případě založený na takzvaném algoritmu náhodné procházky, který iterativně provádí následující výpočet: na bod Piter, který se nachází v rovině R2 nebo v prostoru R3, jsou buď deterministicky nebo náhodně (oním algoritmem náhodné procházky) aplikovány jednotlivé transformace φn. Výsledkem je nová pozice bodu Piter+1. IFS fraktál je poté zobrazen jako koláž složená ze všech vygenerovaných bodů Pi, i=(1..maxiter).

Před vlastním generováním je zapotřebí určit počáteční pozici startovního bodu P0. V předchozí sekci bylo řečeno, že všechny transformace jsou zároveň i transformacemi změny měřítka s koeficientem menším než 1 – jde tedy o kontrahující transformace zajišťující směřování systému ke svému atraktoru. Proto je možné pozici startovního bodu P0 zvolit libovolně, protože po několika počátečních iteracích se díky kontrahujícím transformacím posloupnost generovaných bodů Pi samovolně dostane do atraktoru IFS. Většinou se volí P0=[0, 0] v rovině R2 resp. P0=[0, 0, 0] v prostoru R3.

Obrázek 18: Ukázka dvojrozměrných IFS systémů (uprostřed soběpodobné spirály!).

Transformace, které se budou v daném iteračním kroku aplikovat na bod Pi lze vybírat buď deterministicky nebo náhodně. Rozbory obou těchto metod a jejich různých variant budou uvedeny v dalším textu. Na osmnáctém obrázku jsou zobrazeny ukázky IFS fraktálů generovaných algoritmem náhodné procházky (random walk). Na obrázku devatenáctém je zobrazena třídimenzionální scéna, která je sestrojena pouze z IFS fraktálů.

Obrázek 19: Další 3D scéna vygenerovaná pomocí IFS.

Při matematickém popisu systémů iterovaných funkcí IFS se vychází z matematické teorie pevných bodů (fixed points). Celá tato teorie, která se ostatně objevuje v jiném kontextu i v teoretické informatice, je ve své podstatě aplikací věty o Banachově pevném bodu:

Nechť U je metrický prostor s metrikou d. Dále, nechť f je funkce mapující množinu A na množinu U:

f: A → U

přičemž A je podmnožinou množiny U.

Jestliže dále pro funkci f existuje bod x0 takový, že platí:

f(x0)=x0

tj. bod x0 je funkcí f mapován na sám sebe, pak se bod (jsme v metrickém prostoru) x0 nazývá pevný bod. Pro funkci f s existujícím pevným bodem x0 platí mimo jiné i následující věta:

Jestliže je množina A podmnožinou množiny U a f je taková funkce, která mapuje množinu A do sebe sama (tj.  f: A → A), přičemž existuje určitá konstanta δ (nazývaná kvůli své geometrické interpretaci kontrakční faktor), pro kterou platí 0<δ<1, potom:

d[f(x), f(y)]<=δd[x,y]

a funkce f se nazývá kontrakce.

Poznámka: symbol d v našem případě znamená vzdálenost, ať už jakkoliv definovanou. Z toho mimo jiné vyplývá, že IFS systémy mohou být definovány nad jakýmkoliv prostorem, který má definován pojem vzdálenosti. Například pro Euklidovu metriku platí:

d=(xn2+yn2)-2

Pomocí vektoru kontrakcí a vektoru pravděpodobností (ten si popíšeme příště) je možné popsat celý IFS systém, a to v jakémkoli metrickém prostoru, včetně roviny R2 či trojrozměrného prostoru R3. Podrobnější výklad takto pojatého IFS systému bude uveden v dalším pokračování tohoto seriálu.

Obrázek 20: Systém iterovaných funkcí tvořený rovnicí P-1(z)=(z-c)-2.

Velkou předností systémů iterovaných funkcí je možnost jejich interaktivního návrhu, při kterém uživatel nemusí pracovat pouze s numerickými hodnotami, ale s geometrickými tvary. Plošné či prostorové objekty, které budou tvořit základ pro generování fraktálních objektů pomocí systémů iterovaných funkcí, je vhodné reprezentovat obrysově. Existují i jiné možnosti reprezentace základního objektu, například reprezentace plošná, u níž je transformační matice rozšířena o změnu barvy a kontrastu, avšak obrysová reprezentace má tu výhodu, že je jednoduchá jak pro interaktivní zadávání dat uživatelem, tak i pro uložení dat v operační paměti počítače.

Práce uživatele při návrhu fraktálního obrazce pomocí systému iterovaných funkcí spočívá v tom, že uživatel navrhne bázový (základní) objekt, což není nic jiného než uspořádaný seznam vrcholů navzájem pospojovaných úsečkami. Zde se na uživatele nekladou žádné meze, je možné například vytvořit objekt, který má některé své hrany protnuté. Na výsledný fraktální objekt nemá tvar základního objektu žádný vliv, jedná se pouze o vizuální pomůcku pro uživatele.

Obrázek 21: Další spirály nalezené ve vhodně zkonstruovaném IFS.

13. Implementace algoritmu náhodné procházky v Pythonu

Algoritmus náhodné procházky (RWA – Random Walk Algorithm) patří mezi nejjednodušší algoritmy pro generování fraktálních objektů pomocí systémů iterovaných funkcí. Jeho předností je jednoduchost a malá paměťová náročnost. Mezi jeho nevýhody patří nutnost generování velkého množství bodů pro reprezentaci fraktálu. Některé části fraktálu se generují vícekrát, zatímco některé pouze jednou a při malém počtu iterací může dokonce docházet k tomu, že se některé části fraktálu nevykreslí.

Obrázek 22: Trojrozměrné systémy iterovaných funkcí.

Generování IFS fraktálu se nastartuje tak, že se zvolí náhodný bod P0 v rovině E2 či prostoru E3. Poloha počátečního bodu nemá na výslednou koláž žádný větší vliv, nemusí tedy nutně ležet uvnitř atraktoru systému iterovaných funkcí:

# libovolné počáteční souřadnice v rovině
x1 = y1 = 0

Poté je náhodně vybrána nějaká transformace φi z množiny Φ. Při výběru transformace je nutné přihlédnout k tomu, aby počet použití dané transformace odpovídal její pravděpodobnosti πi, jinak se bude výsledná koláž generovat neúměrně dlouho:

# pp leží v rozsahu 0.0 - 1.0
pp = random()
 
# na základě náhodného čísla najít transformaci
suma = 0
j = 0
while suma <= pp:
    suma += ifs[j][6]
    j += 1
j -= 1

Poté co byla některá transformace vybrána, je možné ji aplikovat na daný bod. Souřadnice tohoto bodu se změní (bod se podrobní transformaci). Na tento nový bod je posléze iterativně aplikována další náhodně vybraná transformace. Iterace probíhají tak dlouho, dokud není dosaženo zadaného maximálního počtu iterací:

# pokud byl překročen počet startovních iterací
# vypočítat a zobrazit bod
x2 = (x1-xmin) * width/delitel
y2 = (y1-ymin) * height/delitel
 
    x = int(x2)
    y = int(y2)
    if x >= 0 and y >= 0 and x < IMAGE_WIDTH and y < IMAGE_HEIGHT:
        image.putpixel((x, y), 0xffffff)

Jelikož první bod P0 nemusí nutně ležet v atraktoru IFS, je nutné několik prvních iterací počátečního bodu nezobrazovat:

# pokud byl překročen počet startovních iterací
if i > startiter:
    # vypočítat a zobrazit bod
    x2 = (x1-xmin) * width/delitel
    y2 = (y1-ymin) * height/delitel
 
        x = int(x2)
        y = int(y2)
        if x >= 0 and y >= 0 and x < IMAGE_WIDTH and y < IMAGE_HEIGHT:
            image.putpixel((x, y), 0xffffff)

Z teorie IFS systémů, kterou jsem uvedl v předchozích kapitolách, vyplývá, že se systém automaticky dostane po několika iteracích do svého atraktoru, v němž již setrvá. Kvalitu výsledného fraktálního objektu lze ovlivnit zadáním maximálního počtu iterací, které se mají provést. Malý počet iterací způsobuje, že je obrázek složený z malého počtu bodů a tím pádem je hůře viditelný. Příliš velký počet iterací naopak způsobuje dlouhou dobu generování výsledné IFS koláže. V programovacím jazyce Python je možné algoritmus náhodné procházky pro generování IFS koláže napsat následovně:

#!/usr/bin/env python
 
"""IFS systémy."""
 
from PIL import Image
from random import random
 
# rozměry obrázku s fraktálem
IMAGE_WIDTH = 512
IMAGE_HEIGHT = 512
 
# transformace a jejich pravděpodobnosti
IFS_SYSTEMS = {
    "binary": (
        ( 0.500000, 0.000000, 0.000000, 0.500000,-2.563477,-0.000003, 0.333333),
        ( 0.500000, 0.000000, 0.000000, 0.500000, 2.436544,-0.000003, 0.333333),
        ( 0.000000,-0.500000, 0.500000, 0.000000, 4.873085, 7.563492, 0.333333)),
    "coral": (
        ( 0.307692,-0.531469,-0.461538,-0.293706, 5.401953, 8.655175, 0.400000),
        ( 0.307692,-0.076923, 0.153846,-0.447552,-1.295248, 4.152990, 0.150000),
        ( 0.000000, 0.545455, 0.692308,-0.195804,-4.893637, 7.269794, 0.450000)),
    "crystal": (
        ( 0.696970,-0.481061,-0.393939,-0.662879, 2.147003,10.310288, 0.747826),
        ( 0.090909,-0.443182, 0.515152,-0.094697, 4.286558, 2.925762, 0.252174)),
    "dragon": (
        ( 0.824074, 0.281482,-0.212346, 0.864198,-1.882290,-0.110607, 0.787473),
        ( 0.088272, 0.520988,-0.463889,-0.377778, 0.785360, 8.095795, 0.212527)),
    "dragon2": (
        ( 0.824074, 0.281481,-0.212346, 0.864197,-1.772710, 0.137795, 0.771268),
        (-0.138580, 0.283951,-0.670062,-0.279012, 2.930991, 7.338924, 0.228732)),
    "feather": (
        ( 0.870370, 0.074074,-0.115741, 0.851852,-1.278016, 0.070331, 0.798030),
        (-0.162037,-0.407407, 0.495370, 0.074074, 6.835726, 5.799174, 0.201970)),
    "fern": (
        ( 0.850000, 0.040000,-0.040000, 0.850000, 0.000000, 1.600000, 0.850000),
        ( 0.200000,-0.260000, 0.230000, 0.220000, 0.000000, 1.600000, 0.070000),
        (-0.150000, 0.280000, 0.260000, 0.240000, 0.000000, 0.440000, 0.070000),
        ( 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.160000, 0.000000, 0.000000, 0.010000)),
    "koch": (
        ( 0.307692, 0.000000, 0.000000, 0.294118, 4.119164, 1.604278, 0.151515),
        ( 0.192308,-0.205882, 0.653846, 0.088235,-0.688840, 5.978916, 0.253788),
        ( 0.192308, 0.205882,-0.653846, 0.088235, 0.668580, 5.962514, 0.253788),
        ( 0.307692, 0.000000, 0.000000, 0.294118,-4.136530, 1.604278, 0.151515),
        ( 0.384615, 0.000000, 0.000000,-0.294118,-0.007718, 2.941176, 1.000000)),
    "spiral": (
        ( 0.787879,-0.424242, 0.242424, 0.859848, 1.758647, 1.408065, 0.895652),
        (-0.121212, 0.257576, 0.151515, 0.053030,-6.721654, 1.377236, 0.052174),
        ( 0.181818,-0.136364, 0.090909, 0.181818, 6.086107, 1.568035, 0.052174)),
    "tree": (
        ( 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.500000, 0.000000, 0.000000, 0.050000),
        ( 0.420000,-0.420000, 0.420000, 0.420000, 0.000000, 0.200000, 0.400000),
        ( 0.420000, 0.420000,-0.420000, 0.420000, 0.000000, 0.200000, 0.400000),
        ( 0.100000, 0.000000, 0.000000, 0.100000, 0.000000, 0.200000, 0.150000)),
    "triangle": (
        ( 0.500000, 0.000000, 0.000000, 0.500000,-0.500000, 0.000000, 0.333333),
        ( 0.500000, 0.000000, 0.000000, 0.500000, 0.500000, 0.000000, 0.333333),
        ( 0.500000, 0.000000, 0.000000, 0.500000, 0.000000, 0.860000, 0.333334)),
}
 
def generate_ifs(image, width, height, maxiter, startiter, ifs):
    delitel = 12.0
 
    # obdélník opsaný IFS
    xmin = -7.0
    xmax = 10.0
    ymin = -1.0
    ymax = 0.0
 
    # libovolné počáteční souřadnice v rovině
    x1 = y1 = 0
 
    for i in range(maxiter):
        # pp leží v rozsahu 0.0 - 1.0
        pp = random()
 
        # na základě náhodného čísla najít transformaci
        suma = 0
        j = 0
        while suma <= pp:
            suma += ifs[j][6]
            j += 1
        j -= 1
 
        # aplikovat vybranou transformaci
        x2 = x1*ifs[j][0] + y1*ifs[j][1] + ifs[j][4]
        y2 = x1*ifs[j][2] + y1*ifs[j][3] + ifs[j][5]
        x1 = x2
        y1 = y2
 
        # pokud byl překročen počet startovních iterací
        if i > startiter:
            # vypočítat a zobrazit bod
            x2 = (x1-xmin) * width/delitel
            y2 = (y1-ymin) * height/delitel
 
            x = int(x2)
            y = int(y2)
            if x >= 0 and y >= 0 and x < IMAGE_WIDTH and y < IMAGE_HEIGHT:
                image.putpixel((x, y), 0xffffff)
 
 
# vykreslit všechny IFS
for name, transformations in IFS_SYSTEMS.items():
    print(name)
 
    # inicializace prázdného obrázku
    image = Image.new("RGB", (IMAGE_WIDTH, IMAGE_HEIGHT))
 
    # vykreslení IFS
    generate_ifs(image, IMAGE_WIDTH, IMAGE_HEIGHT, 100000, 1000, transformations)
 
    # uložení obrázku do souboru
    image.save(name + ".png")

14. Spirály v IFS

Skriptem popsaným v předchozí kapitole byly mj. vygenerovány i tyto obrazce se spirálami:

Obrázek 23: „Dragon“.

Obrázek 24: „Dragon 2“.

Obrázek 25: „Feather“.

Obrázek 26: „Fern“.

Obrázek 27: „Spiral“.

15. Spirály ve slavné Mandelbrotově množině

V Mandelbrotově množině se nachází velké množství zajímavých oblastí, přičemž zobrazované tvary jsou soběpodobné, tj. při různém zvětšení se opakují. Některé typické tvary byly podle svého vzhledu dokonce pojmenovány. Popis zajímavých oblastí začneme částí Mandelbrotovy množiny, která se nachází v okolí takzvaného Feigenbaumova bodu. S prací Feigenbauma jsme se setkali již při popisování dynamických systémů a bifurkačních diagramů. Feigenbaumův bod je místo v Mandelbrotově množině, v jehož okolí nastává stejný jev jako v bifurkačním diagramu – prudké zdvojování period vedoucích až k chaosu. Tento bod má v komplexní rovině souřadnice -1,401155+0,0i, leží tedy v záporné části reálné osy. Na dalším obrázku je zobrazena Mandelbrotova množina zvětšená do oblasti se středem ve Feigenbaumově bodu:.

Obrázek 28: Mandelbrotova množina v oblasti Feigenbaumova bodu.

16. Elephant valley

Další zajímavá oblast Mandelbrotovy množiny byla nazvána Elephant valley proto, že některé tvary zde obsažené připomínaly autorům názvu hlavu slona i se zatočeným chobotem. Oblast se nachází v okolí bodu 0,25+0,0i, tj. na kladné části reálné osy, která při celkovém pohledu na Mandelbrotovu množinu obsahuje vrchol největší (srdcovité) části množiny. Při velkém zvětšení můžeme v Elephant valley nalézt například množství zborcených „kopií“ základního tvaru Mandelbrotovy množiny:

Obrázek 29: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Elephant valley‘.

Obrázek 30: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Elephant valley‘.

Další zajímavá oblast Mandelbrotovy množiny je nazvaná Seahorse valley. Pojmenování vzniklo tak, že při větším přiblížení (zoomu) mohou tvary viditelné v této oblasti připomínat tělo mořského koníka. Oblast se nachází v okolí bodu -0,75+0,0i, tj. v místě, ve kterém se spojuje největší (srdcovitá) oblast Mandelbrotovy množiny s kruhovou oblastí umístěnou vlevo. Při velkém přiblížení zde můžeme nalézt zejména na sebe navazující dvouramenné spirály:

Obrázek 31: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Seahorse valley‘.

Obrázek 32: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Seahorse valley‘.

17. Seahorse valley a West seahorse valley

Na „západ“ od Seahorse valley, tj. ve směru záporné části reálné osy, se nachází takzvaná West seahorse valley. Jedná se o oblast nacházející se v okolí bodu -1,26+0,0i. Při celkovém pohledu na Mandelbrotovu množinu zjistíme, že se zde spojují dvě kruhové části Mandelbrotovy množiny. Tvary, které se při větším přiblížení nachází ve West seahorse valley jsou podobné tvarům z předchozí oblasti, ovšem s tím rozdílem, že zde také můžeme nalézt části Mandelbrotovy množiny, které jsou zdánlivě odtržené. Ve skutečnosti to však není pravda, protože je matematicky dokázáno, že Mandelbrotova množina je spojitá. A skutečně, při větším zvětšení zjistíme, že zdánlivě odtržené části jsou se zbytkem množiny propojeny tenkými vlákny:

Obrázek 33: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚West seahorse valley‘.

Obrázek 34: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚West seahorse valley‘.

18. Triple spiral valley a Quad spiral valley

Oblast nazvaná výstižně Triple spiral valley se nachází v okolí bodu -0,088+0,655i, tj. v „severní“ části Mandelbrotovy množiny. Zrcadlově symetrická oblast se samozřejmě nachází i v okolí bodu -0,088–0,654i. Jak je již z názvu této oblati patrné, je zde možné nalézt množství trojramenných spirál:

Obrázek 35: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Triple spiral valley‘.

Obrázek 36: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Triple spiral valley‘.

Oblast Quad spiral valley, jež se nachází v blízkém okolí bodu 0,274+0,482i (resp. u zrcadlového bodu 0,274–0,482i), se při větším přiblížení vyznačuje (nekonečným) množstvím tvarů podobných spirále se čtyřmi rameny:

Obrázek 37: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Quad spiral valley‘.

Obrázek 38: Mandelbrotova množina v okolí oblasti nazvané ‚Quad spiral valley‘.

Poznámka: v Mandelbrotově množině se nachází i další – zde blíže nepopsané – zajímavé oblasti, například Dendrid s bodem 0.0+1.0i apod.

Obrázek 39: Další spirály v Mandelbrotově množině.

MIF analytika

Obrázek 40: Další spirály v Mandelbrotově množině.

19. Repositář s demonstračními příklady

Všechny dříve i dnes popisované demonstrační příklady určené pro Python 3 a knihovnu Matplotlib byly uloženy do Git repositáře, který je dostupný na adrese https://github.com/tisnik/pre­sentations. Příklady si můžete v případě potřeby stáhnout i jednotlivě bez nutnosti klonovat celý (dnes již poměrně rozsáhlý) repositář:

# Příklad Popis Adresa
1 line.py úsečka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/line.py
2 parabola.py parabola https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parabola.py
3 hyperbola.py hyperbola https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hyperbola.py
4 ellipse_parametric.py parametricky zadaná elipsa https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/ellipse_parametric.py
5 ellipse_general.py obecná elipsa https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/ellipse_general.py
6 circle_parametric.py parametricky zadaná kružnice https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/circle_parametric.py
7 circle_polar.py polární souřadnice při kreslení kružnice https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/circle_polar.py
8 archimedes_spiral.py Archimédova spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/archimedes_spiral.py
9 fermats_spiral.py Fermatova spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/fermats_spiral.py
10 hyperbolic_spiral.py Hyperbolická spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hyperbolic_spiral.py
11 logarithmic_spiral.py Logaritmická spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/logarithmic_spiral.py
12 parabola_catenary1.py parabola vs. řetězovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parabola_catenary1.py
13 parabola_catenary2.py parabola vs. řetězovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parabola_catenary2.py
14 cardioid.py srdcovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/cardioid.py
15 catenary.py řetězovka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/catenary.py
17 fresnel.py Fresnelův integrál https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/fresnel.py
19 lissajous.py Lissajousův obrazec https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/lissajous.py
       
20 superellipse1.py superelipsa https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/superellipse1.py
21 superellipse2.py superelipsa, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/superellipse2.py
22 cycloid.py cykloida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/cycloid.py
23 epicycloid1.py epicykloida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/epicycloid1.py
24 epicycloid2.py epicykloida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/epicycloid2.py
25 hypocycloid1.py hypocykloida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypocycloid1.py
26 hypocycloid2.py hypocykloida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypocycloid2.py
27 hypotrochoid1.py hypotrochoida https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypotrochoid1.py
28 hypotrochoid2.py hypotrochoida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypotrochoid2.py
29 hypotrochoid3.py hypotrochoida, ovšem s odlišnými parametry https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/hypotrochoid3.py
30 implicit/implicit.py křivka zadaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/implicit.py
       
31 3d_plot/parabola1A.py funkce pro parabolu ve 3D https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/parabola1A.py
32 3d_plot/parabola1B.py funkce pro parabolu ve 3D + kontury https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/parabola1B.py
33 3d_plot/parabola2A.py funkce pro parabolu ve 3D https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/parabola2A.py
34 3d_plot/parabola2B.py funkce pro parabolu ve 3D + kontury https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/parabola2B.py
35 3d_plot/hyperbolaA.py funkce pro hyperbolu ve 3D https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/hyperbolaA.py
36 3d_plot/hyperbolaB.py funkce pro hyperbolu ve 3D + kontury https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/hyperbolaB.py
37 3d_plot/sin_cos1.py goniometrická funkce ve 3D https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/sin_cos1.py
38 3d_plot/sin_cos2.py goniometrická funkce ve 3D https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/3d_plot/sin_cos2.py
39 anim/cassini_anim.py animace změny koeficientů Cassiniho oválu https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/anim/cassini_anim.py
40 anim/spiric_anim.py animace změny koeficientů průsečíku roviny s toroidem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/anim/spiric_anim.py
41 implicit/cassini1.py Cassiniho ovál https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/cassini1.py
42 implicit/cassini2.py Cassiniho ovál https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/cassini2.py
43 implicit/cassini3.py Cassiniho ovál https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/cassini3.py
44 implicit/cassini4.py Cassiniho ovál https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/cassini4.py
45 implicit/circle1.py kružnice specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/circle1.py
46 implicit/circle2.py kružnice specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/circle2.py
47 implicit/ellipse1.py elipsa specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/ellipse1.py
48 implicit/ellipse2.py elipsa specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/ellipse2.py
49 implicit/ellipse3.py elipsa specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/ellipse3.py
50 implicit/elliptic1.py eliptická křivka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/elliptic1.py
51 implicit/elliptic2.py mřížka několika eliptických křivek https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/elliptic2.py
52 implicit/flower.py křivka připomínající květ https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/flower.py
53 implicit/hyperbola1.py hyperbola specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/hyperbola1.py
54 implicit/hyperbola2.py hyperbola specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/hyperbola2.py
55 implicit/line1.py přímka specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/line1.py
56 implicit/line2.py přímka specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/line2.py
57 implicit/parabola1.py parabola specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/parabola1.py
58 implicit/parabola2.py parabola specifikovaná implicitní funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/parabola2.py
59 implicit/sin_cos1.py implicitní funkce obsahující goniometrické funkce https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/sin_cos1.py
60 implicit/sin_cos2.py implicitní funkce obsahující goniometrické funkce https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/sin_cos2.py
61 implicit/spiric1.py řez toroidu plochou https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/spiric1.py
62 implicit/spiric2.py řez toroidu plochou https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/spiric2.py
63 implicit/spiric3.py řez toroidu plochou https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/implicit/spiric3.py
       
64 interpolation/lagrange_in­terpolation1.py interpolace Lagrangeovým polynomem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/interpolation/lagrange_in­terpolation1.py
65 interpolation/lagrange_in­terpolation2.py interpolace Lagrangeovým polynomem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/interpolation/lagrange_in­terpolation2.py
66 interpolation/lagrange_poly1.py konstrukce Lagrangeova polynomu https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/interpolation/lagrange_po­ly1.py
67 interpolation/lagrange_poly2.py konstrukce Lagrangeova polynomu https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/interpolation/lagrange_po­ly2.py
68 approximation/linear_regression1.py lineární regrese https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/linear_re­gression1.py
68 approximation/linear_regression2.py lineární regrese https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/linear_re­gression2.py
69 approximation/linear_regression3.py lineární regrese https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/linear_re­gression3.py
70 approximation/poly_regression1.py aproximace polynomem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/poly_re­gression1.py
71 approximation/poly_regression2.py aproximace polynomem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/poly_re­gression2.py
72 approximation/random_data_linear.py náhodná data pro lineární regresi https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/random_da­ta_linear.py
73 approximation/random_data_poly.py náhodná data pro aproximaci polynomem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/random_da­ta_poly.py
74 approximation/taylor_sin1.py aproximace funkce sin Taylorovým rozvojem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/taylor_sin.py
75 approximation/taylor_sin2.py aproximace funkce sin Taylorovým rozvojem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/taylor_sin.py
76 approximation/taylor_sin5.py aproximace funkce sin Taylorovým rozvojem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/taylor_sin.py
77 approximation/taylor_sin9.py aproximace funkce sin Taylorovým rozvojem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/taylor_sin.py
78 approximation/taylor_sin_x.py aproximace funkce sin Taylorovým rozvojem https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/approximation/taylor_sin_x­.py
79 parametric/circle.py parametricky zadaná kružnice https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/circle.py
80 parametric/Bezier_basis.py Bernsteinovy polynomy https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_basis­.py
81 parametric/Bezier_cubic.py Bézierova kubika https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_cubic­.py
82 parametric/Bezier_kvadric.py Bézierova kvadrika https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_kva­dric.py
83 parametric/B-spline-1.py B-spline křivka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/B-spline-1.py
84 parametric/B-spline-2.py B-spline křivka s násobnými body https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/B-spline-2.py
85 parametric/Coons_basis.py Coonsovy bázové polynomy https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Coons_basis­.py
86 parametric/Coons.py Coonsova křivka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Coons.py
       
87 parametric/Bezier_cubic_basis.py bázové vektory Bézierovy kubiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_cubic_ba­sis.py
88 parametric/Bezier_cubic_basis_sum.py součet bázových vektorů Bézierovy kubiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_cubic_ba­sis_sum.py
89 parametric/Bezier_quadric_basis.py bázové vektory Bézierovy kvadriky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_qua­dric_basis.py
90 parametric/Bezier_quadric_basis_sum.py součet bázových vektorů Bézierovy kvadriky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_qua­dric_basis_sum.py
91 parametric/Bezier_quartic_basis.py bázové vektory Bézierovy quartiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_quar­tic_basis.py
92 parametric/Bezier_quartic_basis_sum.py součet bázových vektorů Bézierovy kvartiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_quar­tic_basis_sum.py
93 parametric/Bezier_quintic_basis.py bázové vektory Bézierovy quintiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_quin­tic_basis.py
94 parametric/Bezier_quintic_basis_sum.py součet bázových vektorů Bézierovy quintiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Bezier_quin­tic_basis_sum.py
95 parametric/Catmul-Rom_basis.py bázové vektory Catmul-Romovy spline https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_basis.py
96 parametric/Catmul-Rom_basis_sum.py součet bázových vektorů Catmul-Romovy spline https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_basis_sum.py
97 parametric/Catmul-Rom_cubic.py Catmul-Romova kubika https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_cubic.py
98 parametric/Catmul-Rom_spline_A.py Catmul-Romova spline https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_spline_A.py
99 parametric/Catmul-Rom_spline_B.py Catmul-Romova spline procházející koncovými body https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_spline_B.py
100 parametric/Coons_basis2.py bázové vektory Coonsovy kubiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Coons_basis.py
101 parametric/Coons_basis_sum.py součet bázových vektorů Coonsovy kubiky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Coons_basis_sum­.py
102 parametric/linear_basis.py bázové vektory lineární interpolace https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/linear_basis­.py
103 parametric/linear_basis_sum.py součet bázových vektorů lineární interpolace https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/linear_basis_sum­.py
104 parametric/linear_interpolation.py zobrazení lineární interpolace https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/linear_inter­polation.py
       
105 parametric/B-spline-3.py B-spline křivka se čtyřmi segmenty, u níž se mění pozice prostředního řídicího bodu https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/B-spline-3.py
106 parametric/Catmul-Rom_spline_C.py Catmul-Romova spline, u níž se mění pozice prostředního řídicího bodu https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_spline_C.py
107 anim/B-spline-anim.py B-spline křivka se čtyřmi segmenty, u níž se postupně mění pozice prostředního řídicího bodu https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/anim/B-spline-anim.py
108 anim/Catmul-Rom_spline-anim.py Catmul-Romova spline křivka se čtyřmi segmenty, u níž se postupně mění pozice prostředního řídicího bodu https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/anim/Catmul-Rom_spline-anim.py
109 parametric/B-spline-4.py Parametrická křivka: B-spline složená z Coonsových oblouků, násobné body na začátku a konci https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/B-spline-4.py
110 parametric/Catmul-Rom_spline_D.py Parametrická křivka: Catmul-Romova spline, násobné body na začátku a na konci https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_spline_D.py
111 parametric/B-spline-5.py Parametrická křivka: B-spline složená z Coonsových oblouků, násobné body uprostřed křivky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/B-spline-5.py
112 parametric/Catmul-Rom_spline_E.py Parametrická křivka: Catmul-Romova spline, násobné body uprostřed křivky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Catmul-Rom_spline_E.py
113 parametric/Hermite_basis.py bázové polynomy Hermitovy křivky https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Hermite_ba­sis.py
114 parametric/Hermite_spline.py Hermitova křivka https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/parametric/Hermite_spli­ne.py
       
115 spirals/trivial_spiral.py triviální spirála – kružnice https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/trivial_spiral­.py
116 spirals/archimedean_spiral.py Archimédova spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/archimedean_spi­ral.py
117 spirals/fermat_spiral.py Fermatova spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/fermat_spiral­.py
118 spirals/hyperbolic_spiral.py Hyperbolická spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/hyperbolic_spi­ral.py
119 spirals/hyperbolic_spiral2.py Hyperbolická spirála se dvěma rameny https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/hyperbolic_spi­ral2.py
120 spirals/logarithmic_spiral.py Logaritmická spirála https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/logarithmic_spi­ral.py
121 spirals/atomic_spiral1.py Atomická spirála, první verze https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/atomic_spiral.py
122 spirals/atomic_spiral2.py Atomická spirála, korektní verze verze https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/atomic_spiral.py
123 spirals/lituus.py Lituus https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/lituus.py
124 spirals/ifs.py Vykreslení různých systémů iterovaných funkcí https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/ifs.py
125 spirals/mandelbrot_matplotlib.py Vykreslení Mandelbrotovy množiny, postaveno na knihovně Matplotlib https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/mandelbrot_mat­plotlib.py
126 spirals/mandelbrot_pil.py Vykreslení Mandelbrotovy množiny, postaveno na knihovně PIL/Pillow https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/mandelbrot_pil­.py
127 spirals/mandelbrot_spirals.py Spirály nalezené v Mandelbrotově množině https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/mandelbrot_spi­rals.py
128 spirals/julia_spirals.py Spirály nalezené v Juliových množinách https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/julia_spirals­.py
129 spirals/palette_blues.py Barvová paleta, kterou je možné použít v předchozích třech příkladech https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/palette_blues­.py
130 spirals/palette_greens.py Barvová paleta, kterou je možné použít v předchozích třech příkladech https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/palette_green­s.py
131 spirals/palette_mandmap.py Barvová paleta, kterou je možné použít v předchozích třech příkladech https://github.com/tisnik/pre­sentations/blob/master/cur­ves/spirals/palette_mandmap­.py

20. Odkazy na Internetu

  1. The spiral: the eternal sign of the creative and organising principle at work in the universe
    https://geoffjward.medium.com/the-spiral-the-eternal-sign-of-the-creative-and-organising-principle-at-work-in-the-universe-8889ba092300
  2. Speira(Spiral): one of the oldest and most powerful symbols in the world
    https://www.greecehighdefi­nition.com/blog/speira-spiral-oldest-greek-symbols-in-the-world-ancient-greece
  3. Spirals
    https://web.stanford.edu/~si­egelr/photography/spirals­.html
  4. Why Do Spirals Exist Everywhere in Nature?
    https://www.samwoolfe.com/2014/05/spi­rals-everywhere.html
  5. Patterns In Nature: Where to Spot Spirals
    https://www.scienceworld.ca/sto­ries/patterns-nature-where-spot-spirals/
  6. Spirals in Nature
    https://extension.illinois­.edu/blogs/naturalist-news/2021–06–23-spirals-nature
  7. The Curves of Life (Dover Books Explaining Science)
    https://www.amazon.com/Curves-Dover-Books-Explaining-Science/dp/048623701X
  8. Famous Curves Index
    https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/
  9. Curve (Wikipedia)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Curve
  10. Mathematical curves
    https://www.2dcurves.com/index.html
  11. Curves (Wolfram MathWorld)
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/Curves.html
  12. Smooth Curve (Wolfram MathWorld)
    https://mathworld.wolfram­.com/SmoothCurve.html
  13. Spirals (Wolfram MathWorld)
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/Spirals.html
  14. An Interactive Introduction to Splines
    https://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm
  15. Parabola
    https://www.2dcurves.com/co­nicsection/conicsectionp.html
  16. Hyperbola
    https://www.2dcurves.com/co­nicsection/conicsectionh.html
  17. Dioklova kisoida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Dioklova_kisoida
  18. Archimédova spirála
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Archim%C3%A9dova_spir%C3%A1la
  19. Conchoid (mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Conchoid_(mathematics)
  20. Algebraic curve
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Algebraic_curve
  21. Transcendental curve
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Transcendental_curve
  22. Spiral
    https://en.wikipedia.org/wiki/Spiral
  23. List of spirals
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/List_of_spirals
  24. Hyperbolická spirála
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Hyperbolick%C3%A1_spir%C3%A1la
  25. Hyperbolic Spiral
    https://mathworld.wolfram­.com/HyperbolicSpiral.html
  26. Lituus (mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Lituus_(mathematics)
  27. Spiral of Spirals Fractals 2 with Python Turtle (Source Code)
    https://pythonturtle.academy/spiral-of-spirals-fractals-2-with-python-turtle-source-code/
  28. Cornu Spiral
    http://hyperphysics.gsu.e­du/hbase/phyopt/cornu.html
  29. Spiral
    https://www.2dcurves.com/spi­ral/spiral.html
  30. Algebraic Curves
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/AlgebraicCurves­.html
  31. Elliptic Curves
    https://mathworld.wolfram­.com/topics/EllipticCurves­.html
  32. Eukleidovská konstrukce
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Eukleidovsk%C3%A1_konstruk­ce
  33. Euclidean Constructions
    http://www.cs.cas.cz/portal/Al­goMath/Geometry/PlaneGeome­try/GeometricConstruction­s/EuclideanConstructions.htm
  34. Kvadratura kruhu
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Kvadratura_kruhu
  35. Trisekce úhlu
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Trisekce_%C3%BAhlu
  36. Straightedge and compass construction
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Straightedge_and_compas­s_construction
  37. C.a.R.
    http://car.rene-grothmann.de/doc_en/index.html
  38. CaRMetal (Wikipedia)
    https://en.wikipedia.org/wiki/C.a.R.
  39. CaRMetal (Španělsky a Francouzsky)
    http://carmetal.org/index.php/fr/
  40. CaRMetal (Wikipedia)
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/CaRMetal
  41. Regular Polygon
    http://mathforum.org/dr.mat­h/faq/formulas/faq.regpoly­.html
  42. Geometric Construction with the Compass Alone
    http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml
  43. Kvadratura kruhu (Wikipedie)
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Kvadratura_kruhu
  44. Compass equivalence theorem
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Compass_equivalence_the­orem
  45. Curves we (mostly) don't learn in high school (and applications)
    https://www.youtube.com/wat­ch?v=3izFMB91K_Q
  46. Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Menaechmus' Constructions
    https://www.maa.org/press/pe­riodicals/convergence/can-you-really-derive-conic-formulae-from-a-cone-menaechmus-constructions
  47. Apollonius of Perga
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Apollonius_of_Perga
  48. Catenary arch
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Catenary_arch
  49. Parabolic arch
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Parabolic_arch
  50. Wattova křivka
    https://www.geogebra.org/m/gNh4bW9r
  51. Model stegosaura byl získán na stránce
    http://www.turbosquid.com/HTMLCli­ent/FullPreview/Index.cfm/ID/171071/Ac­tion/FullPreview
  52. Obrázek nohy dinosaura byl získán na adrese
    http://perso.wanadoo.fr/ri­masson/3d/leg.htm
  53. Spirograph
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Spirograph
  54. Epicykloida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Epicykloida
  55. Hypocykloida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Hypocykloida
  56. Hypotrochoida
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Hypotrochoida
  57. Superelipsoidy a kvadriky v POV-Rayi
    https://www.root.cz/clanky/su­perelipsoidy-a-kvadriky-v-pov-rayi/
  58. Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions, And a Few Answers
    https://elepa.files.wordpres­s.com/2013/11/fifty-famous-curves.pdf
  59. Barr, A.H.: Superquadrics and Angle Preserving Transformations,
    IEEE Computer Graphics and Applications, January 1981
  60. Bourke Paul: Quadrics,
    July 1996
  61. Bourke Paul: Superellipse and Superellipsoid,
    January 1990
  62. Faux, I.D. a Pratt, M.J.: Computational Geometry for Design and Manufacture,
    Ellis Horwood Ltd., Wiley & Sons, 1979
  63. Wallace A.: Differential Topology,
    Benjamin/Cummings Co., Reading, Massachussetts, USA, 1968
  64. Glossary of Bridge Terminology
    http://sdrc.lib.uiowa.edu/en­g/bridges/WaddellGlossary/Glos­sC.htm
  65. Brachistochrona
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Brachistochrona
  66. Missions: Cassini
    https://solarsystem.nasa.gov/mis­sions/cassini/overview/
  67. Giovanni Domenico Cassini
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Giovanni_Domenico_Cassi­ni
  68. Cassini Ovals
    https://mathworld.wolfram­.com/CassiniOvals.html
  69. Geocentrismus
    https://cs.wikipedia.org/wi­ki/Geocentrismus
  70. Who was Giovanni Cassini?
    https://www.universetoday­.com/130823/who-was-giovanni-cassini/
  71. Special plane curves
    http://xahlee.info/Special­PlaneCurves_dir/ConicSecti­ons_dir/conicSections.html
  72. Why Does Slicing a Cone Give an Ellipse?
    https://infinityisreallybig­.com/2019/02/08/why-does-slicing-a-cone-give-an-ellipse/
  73. Interpolace
    https://mathonline.fme.vut­br.cz/pg/Algoritmy/05_APROX_KRIV­KY.htm
  74. Lagrange Polynomial Interpolation
    https://pythonnumericalmet­hods.berkeley.edu/notebook­s/chapter17.04-Lagrange-Polynomial-Interpolation.html
  75. Python Program for Lagrange Interpolation Method (with Output)
    https://www.codesansar.com/numerical-methods/python-program-lagrange-interpolation-method.htm
  76. Smooth Paths Using Catmull-Rom Splines
    https://qroph.github.io/2018/07/30/smo­oth-paths-using-catmull-rom-splines.html
  77. Lecture 11: Linear Interpolation Again – Bézier Curves
    http://www.math.kent.edu/~re­ichel/courses/intr.num.com­p.1/fall09/lecture12/bez.pdf
  78. Geometrie/Úvod do křivek
    https://cs.wikibooks.org/wi­ki/Geometrie/%C3%9Avod_do_k%C5%99i­vek
  79. B-Spline Curves and Surfaces (1)
    http://www.cad.zju.edu.cn/ho­me/zhx/GM/006/00-bscs1.pdf
  80. Praktické ukázky možností aplikace Mandelbulber při tvorbě animací
    https://www.root.cz/clanky/prakticke-ukazky-moznosti-aplikace-mandelbulber-pri-tvorbe-animaci/
  81. Kochanek–Bartels spline
    https://en.wikipedia.org/wi­ki/Kochanek%E2%80%93Bartel­s_spline
  82. class KochanekBartels
    https://splines.readthedoc­s.io/en/latest/_modules/spli­nes.html#KochanekBartels
  83. Fraktály v počítačové grafice XVIII
    https://www.root.cz/clanky/fraktaly-v-pocitacove-grafice-xviii/
  84. Fraktály v počítačové grafice XVI
    https://www.root.cz/clanky/fraktaly-v-pocitacove-grafice-xvi/
  85. Fraktály v počítačové grafice IV
    https://www.root.cz/clanky/fraktaly-v-pocitacove-grafice-iv/
  86. Systémy iterovaných funkcí a algoritmus náhodné procházky
    https://www.root.cz/clanky/systemy-iterovanych-funkci-a-algoritmus-nahodne-prochazky/
  87. Pravděpodobnosti transformací v systémech iterovaných funkcí
    https://www.root.cz/clanky/prav­depodobnosti-transformaci-v-systemech-iterovanych-funkci/