Seriál Fraktály v počítačové grafice

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice dokončíme poměrně objemnou část celé série, ve které jsme se zabývali fraktálními množinami vytvářenými v komplexní rovině. Rozebereme si další dosud nepopsané možnosti, jakými je možné urychlit výpočet bodů ležících vně či uvnitř těchto fraktálních množin. Také si ukážeme některé pokročilejší vykreslovací techniky, pomocí nichž je možné významně zkrátit výpočty animací "průletu" fraktálními množinami.

Ve dvacáté osmé části seriálu, který je věnován popisu fraktálů používaných (nejenom) v počítačové grafice, si vysvětlíme princip vytvoření velmi zajímavé fraktální množiny počítané v komplexní rovině. Jedná se o fraktál nazývaný Phoenix, který existuje jak v Mandelbrotově, tak i Juliově variantě. Poutavé tvary, kterých nabývá Juliova varianta tohoto fraktálu, daly podnět k jeho pojmenování a mimo jiné také vedly k tomu, že je tento fraktál použit v mnoha aplikacích pro tvorbu fraktálních obrazců.

Sedmadvacátá část seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice je zaměřena na popis druhé (a poslední) varianty fraktálních množin typu Magnet. Popíšeme si jak Mandelbrotovu, tak i Juliovu verzi těchto fraktálních množin a jejich praktický výpočet a následné vykreslení si ukážeme na třech demonstračních příkladech.

Ve dvacáté šesté části seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme první typ fraktálních množin nazývaných souhrnně termínem Magnet. Název těchto fraktálů je odvozen z jejich fyzikálního významu.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice navážeme na díl předchozí, ve kterém jsme si popsali fraktální množiny Michaela Barnsleye počítané a následně zobrazované v komplexní rovině. Minule byly popsány "Mandelbrotovy varianty" těchto množin, dnešní část bude naopak věnována "variantám Juliovým", které jsou - alespoň z estetického hlediska - mnohem zajímavější.

V dnešním pokračování seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice se budeme zabývat dalšími typy rastrových obrázků s fraktální strukturou, které jsou počítány a vykreslovány v komplexní rovině. Bude se jednat o fraktály, jejichž iterační vztahy navrhl a implementoval vědec Michael Barnsley, který je mimo jiné známý i velmi důležitým objevem systémů iterovaných funkcí (IFS) a jejich praktickou aplikací při fraktální komprimaci obrázků.

V třiadvacátém pokračování seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice si ukážeme tvorbu modifikované fraktální množiny vzniklé aplikací Newtonovy iterační metody na polynom s komplexními kořeny. Uvedená modifikace spočívá v obarvení pixelů na základě počtu iterací. Dále si popíšeme Newtonovy fraktály odpovídající polynomům vyšších stupňů, použití neceločíselných mocnin a na závěr Newtonovy fraktály vytvořené pomocí polynomů s komplexními mocninami.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme další velmi zajímavý fraktál, který je možné vytvořit v komplexní rovině. Jedná se o takzvanou Newtonovu fraktální množinu, která vzniká barevným zvýrazněním obecných komplexních kořenů jednoduchých polynomů.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice bude vysvětlen princip vytváření Mandelbrotových a Juliových množin s libovolnou reálnou mocninou použitou v jejich iterační smyčce. Také si ukážeme zajímavé animace Mandelbrotovy a Juliovy množiny při průběžné změně mocniny.

V jubilejní dvacáté části seriálu věnovaného fraktálům používaným (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme kubické Juliovy množiny a také Mandelbrotovy i Juliovy množiny, u kterých je použit iterační vztah se čtvrtou mocninou komplexní hodnoty Z.

V devatenáctém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice budou popsány Mandelbrotovy a Juliovy množiny používající ve svém iteračním vztahu vyšší mocniny hodnoty Z, než jaká se používá u "klasické" Mandelbrotovy množiny a Juliových množin.

V osmnáctém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si vysvětlíme vztah mezi Mandelbrotovou množinou a známou konstantou π. Také si řekneme, jaké číselné řady (kódované do geometrické podoby) je možné v Mandelbrotově množině nalézt.

V sedmnáctém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si popíšeme tři způsoby, pomocí nichž je možné modifikovat výpočet a tím i výsledný tvar Mandelbrotovy množiny. Popisované způsoby budou použity i pro vytvoření trojice zajímavých animací.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice se budeme zabývat způsobem animace "průletu" Mandelbrotovou množinou a také takzvanou mapou Mandelbrotovy množiny spolu s názvy nejtypičtějších tvarů (oblastí), které je možné v této nekonečně členité množině nalézt.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice navážeme na předchozí díl, ve kterém byly popsány některé často používané techniky vybarvení vnitřních bodů Mandelbrotovy množiny. Dnes se naopak budeme zabývat různými způsoby vybarvování bodů, které leží vně tohoto velmi zajímavého fraktálního útvaru.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si řekneme, jaký existuje vztah mezi Mandelbrotovou množinou a Juliovými množinami. Relaci mezi těmito dvěma typy fraktálů si ukážeme i na demonstračním příkladě. Také si popíšeme některé vylepšené techniky vykreslování a obarvování Mandelbrotovy množiny.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si ukážeme několik demonstračních příkladů sloužících pro vykreslení známé Mandelbrotovy množiny. Také si řekneme, jakým způsobem je možné zobrazit detaily Mandelbrotovy množiny.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice si podrobně popíšeme historii, základní princip a postupy použité při vykreslování patrně nejznámějšího fraktálu v komplexní rovině - Mandelbrotovy množiny. V navazujících částech bude také popsán postup při vytváření zajímavých animací (průletu) obrázkem tohoto fraktálu.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice si řekneme, do jakých kategorií (či typů) se Juliovy množiny dělí. Také si ukážeme způsob vykreslování Juliových množin na několika demonstračních příkladech.

V desátém pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejen) v počítačové grafice se budeme zabývat velmi zajímavým tématem - zobrazováním map vybraných dynamických systémů v komplexní rovině. Mezi známé dynamické systémy, se kterými se v komplexní rovině pracuje, patří i Juliovy množiny a k nim příslušná Mandelbrotova množina, jejíž obrázek je všeobecně považován (spolu se slavnou Newellovou čajovou konvicí) za jeden ze symbolů počítačové grafiky.

V deváté části seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice se budeme zabývat dynamickými systémy, jejichž orbity nejsou vykreslovány v rovině, ale v třírozměrném prostoru. Mezi tyto systémy patří především známý Lorenzův a Rosslerův atraktor, jejichž výpočet a následné vykreslení si ukážeme na demonstračních příkladech.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech používaných (nejenom) v počítačové grafice budeme pokračovat v popisu dynamických systémů, u nichž se provádí zobrazování jejich orbitů v rovině nebo třídimenzionálním prostoru. Popíšeme si tvorbu zajímavých obrazců pomocí zobecněného dynamického systému, zobrazení orbitů Mandelbrotovy množiny (takzvané Mandelbrotovo mračno) a zobrazení dynamického systému nazvaného Popcorn.

V sedmém pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice budou popsány další dynamické systémy, jejichž orbity tvoří zajímavé obrazce, a to jak v rovině, tak i v prostoru.

V šestém pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice si popíšeme nelineární dynamické systémy, u nichž se zobrazuje jejich "orbit" v dvojrozměrném či třírozměrném prostoru. Toto pokračování již bude zaměřené více prakticky, protože bude uvedeno množství algoritmů pro vykreslování orbitů spolu s jejich praktickou implementací v demonstračních příkladech.

V páté části seriálu pojednávajícího o fraktálech používaných v počítačové grafice si popíšeme dynamické systémy a jejich souvislost s fraktály a s fraktální geometrií. Velkou pozornost přitom budeme věnovat nelineárním dynamickým systémům, které mají zajímavé uplatnění i v technické praxi - nás ovšem bude zajímat zejména jejich grafické zobrazení.

V dnešním pokračování seriálu o fraktálech využívaných v počítačové grafice si podrobněji popíšeme jednotlivé typy (resp. kategorie) fraktálů.

Ve druhém pokračování seriálu o fraktálech používaných v počítačové grafice jsme si vysvětlili základní pojmy, které se vztahují k fraktální geometrii. Jedná se o topologickou a Hausdorffovu dimenzi. V dnešní části se budeme zabývat dalšími důležitými pojmy, zejména soběpodobností, atraktorem, stavovým prostorem, bifurkací a deterministickým chaosem. Také si ukážeme prototypy demonstračních příkladů.

Ve druhém pokračování seriálu o fraktálech využívaných (nejenom) v počítačové grafice si vysvětlíme pojmy topologické dimenze a Hausdorffovy dimenze. Také si ukážeme, jakým způsobem je možné Hausdorffovu dimenzi změřit pro "běžné" i fraktální objekty.

Dnešním dnem začíná na Root.cz nový seriál, ve kterém se budeme věnovat problematice fraktálů a fraktální geometrii spolu s jejich praktickou implementací, především v počítačové grafice a z ní vycházejících aplikací. S fraktály do jisté míry souvisí i teorie chaosu a chaotické systémy - i této problematice se budeme v pozdějších dílech věnovat.